Mathématique et technique - exercices d'algèbre 3, Exercices de Algèbre linéaire

Mathématique et technique - exercices d'algèbre 3, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 3 sur l’ensemble des complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté au repère orthonormé, la médiane.
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[ Baccalauréat C Cambodge et Laos septembre 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. - Résoudre, sur l’ensemble des complexes, l’équation

Z 2 = 1− i

p 3

2 .

EXERCICE 2

Dansunplan rapporté au repère orthonormé (x′Ox, y ′Oy), ondonne les deuxpoints A(−1 ; 0) et B(+1 ; 0).

PREMIÈRE PARTIE

On considère la transformation ponctuelle qui, à tout point M du cercle (Γ) de dia-

mètre AB, repéré par l’angle (−−→ Ox ,

−−→ OM

)

= α (mod. 2π), fait correspondre le point

d’intersection, C, de la droite AM et de la perpendiculaire menée de B à OM.

1. Étudier, suivant les différentes positions de M sur le cercle (Γ), l’existence du point C. Ce point C peut-il être confondu avec A ou B ?

2. Calculer en fonction de α l’ordonnée, y , du point C et montrer que cette or- donnée peut se mettre sous la forme

y = sin2α

1+cosα

3. Étudier et représenter dans un système d’axes rectangulaires les variations de y en fonction de α lorsque α varie de −π à +π.

On vérifiera que y ′ peut se mettre sous la forme ,

y ′ = P (cosα)

1+cosα ,

P (cosα) étant un polynôme par rapport à cosα.

DEUXIÈME PARTIE

On considère maintenant tous les points C du plan tels que la médiane OC du tri- angle ABC correspondant soit moyenne proportionnelle entre les côtés AC et BC.

1. Dans le repère donné, on représente par x et y les coordonnées du point C.

Former l’équation de l’ensemble, (H), de ces points C. Préciser les éléments remarquables de (H).

2. Déterminer géométriquement l’ensemble (H) et montrer que l’on retrouve les résultats de la question précédente.

3. Montrer que les cercles de diamètres respectifs CA et CB restent tangents à un cercle fixe et déterminer l’ensemble des positions du deuxième point d’inter- section de ces deux cercles.

4. Montrer que les cercles ayant C pour centre et tangents à y ′Oy découpent sur x′Ox des segments de longueur constante. Calculer cette longueur.

N. B. - Les deux parties du problème sont indépendantes.

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