Mathématique et technique - exercices d'algèbre 5, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 5 sur les équations paramétriques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cercle fixe, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C Dakar septembre 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Donner les équations paramétriques de la droite passant par les points A(+1 ; +2 ; +3)

et B (+ 3 ; + 2 ; + 1).

Trouver les coordonnées des points M de cette droite tels que on ait MA

MB = 3.

EXERCICE 2

Utiliser le développement de (cosx + isinx)5 pour exprimer cos5x en fonction de

cosx.

EXERCICE 3

Soit un cercle fixe (O), de centre O, de rayon R, un point fixe A (OA= a) et un nombre

α donné tel que l’on ait 0< 2α<π.

On appelle cercle (C) tout cercle ayant son centre, C, sur (O) et vu de A sous l’angle

2α. On pose

( −−→

OA , −−→

OC ) =ω.

1. On désigne par T et T′ les points de contact des tangentes à (C) issues de A( TAT′ = 2α

) . Calculer

les rapports AT

AC et

AT’-′

AC′ .

En déduire les ensembles T et T ′, décrits par T et T′ quand C décrit (O).

T et T ′ peuvent-ils être des cercles (C) ? Discussion.

Construire T et T ′ pour α= π

6 et a = 2R.

2. Soit M le point de (C) tel que ( −−→

CA , −−→

CM ) =ϕ, où ϕ est une valeur donnée véri-

fiant −π<ϕ6π.

Montrer que l’ensemble, M , décrit par M est le transformé de (O) par une

similitude, dont on déterminera les éléments en fonction de α et ϕ.

3. Le point C décrivant toujours le cercle (O), trouver l’ensemble, I , décrit par le

milieu, I, de TT′ et l’enveloppe (Γ) de la droite TT′.

Discuter la nature de (Γ) selon les valeurs du rapport a

R .

Préciser, dans chaque cas, ses éléments.

Construire (Γ) pour α= π

6 et a = 2R.

4. On construit maintenant, dans le plan du cercle (O), le repère orthonormé

x′Ox, y ′Oy de telle manière que les coordonnées du point A soient (a ; 0). Soit

K la projection orthogonale de O sur l’axe radical ∆ de (O) et (C).

Calculer, en fonction de ω, le nombre p tel que −−→

OK = p −−→

OC .

En déduire l’équation de ∆.

Exprimer la distance à∆d’un point S quelconque de l’axe xx (OS= s) etmon-

trer qu’il existe une valeur de s pour laquelle cette distance ne dépend pas de

ω.

En déduire l’enveloppe de ∆.

Peut-on choisir a

R pour que ∆ passe par un point fixe ?

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