Mathématique et technique - exercices d'algèbre 7, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 7 sur la dérivée de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation du plan, les expressions de x et y en fonction de X et Y .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Orléans juin 1966

EXERCICE 1 points

1. Calculer la dérivée de la fonction

f (x) = e2x sin2x.

2. Étudier le signe de cette dérivée pour 06 x 6 π

2 .

EXERCICE 2 points

On donne un repère orthonormé Ox, Oy , Oz.

1. Trouver l’équation du cône de révolution d’axe Oz, de sommet S de coordon- nées (0 ; 0 ; 4) et tangent à la droite (D) du plan xOy qui a pour équation dans ce plan 3x + y?3 = 0.

2. Trouver l’équation du plan tangent au cône et contenant (D).

PROBLÈME points

On donne, dans un plan P, un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy et deux points situés sur x′Ox : A d’abscisse + 1, et A′ d’abscisse −1. On se propose d’étudier une transfor- mation ponctuelle, T . M étant un point quelconque du plan, la perpendiculaire à A′M passant par A et la perpendiculaire à AM passant par A′ se coupent en un point M ′ . M ′ est la transformé de M par la transformation T .

Partie A

1. On désigne par x, y les coordonnées de M , par X , Y les coordonnées de M ′.

Donner les expressions de X et de Y en fonction de x et y . Tout point M du plan a-t-il un transformé M ′, bien déterminé ?

Donner les expressions de x et y en fonction de X et Y .

2. Démontrer géométriquement que M M ′ est perpendiculaire à x′Ox et trouver une relation simple entre IA, IA′, IM et IM ′, en désignant par I le point com- mun aux droites AA′ et M M ′.

Partie B

Déterminer l’ensemble des points M ′ dans les cas suivants :

1. M décrit la droite d’équation y = 2x?1 ; construire l’ensemble des points M ′.

2. M décrit la droite d’équation y = 3(x?1) ; préciser la nature de l’ensemble des points M ′.

3. M décrit la droite d’équation y = k ; préciser la nature de l’ensemble des points M ′.

4. M décrit la parabole déterminée par ce qui suit : y y est axe de symétrie, AA′

est corde focale, l’ordonnée du sommet est négative.

5. M décrit un cercle passant par A et A′.

6. M décrit une ellipse de grand axe AA′. (On désignera par b le demi-petit axe de cette ellipse).

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