Mathématique et technique - exercices d'algèbre 8, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 8 sur la variation de la jonction f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation graphique.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1966 \

Le candidat doit traiter LES DEUX exercices ET le problème

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Étudier la variation de la jonction f de la variable réelle x définie par :

y = f (x)= ex

x .

2. Construire sa représentation graphique.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. z étant un nombre complexe, développer (z +1)3.

Résoudre l’équation :

z3+3z2+3z −7= 0.

2. Construire les images des racines.

3. Trouver tous les nombres entiers relatifs n tels que n3+3n2+3n−7 soit divi- sible par 8.

PROBLÈME 12 POINTS

Une unité de longueur étant choisie, on considère l’ensemble (T ) des triangles ABC ayant pour périmètre cette unité. On pose :

BC= x, CA= y, AB= z.

À tout triangle t de (T ), on fait correspondre le point M qui a pour coordonnées x, y,z dans l’espace rapporté à un repère orthonormé. Le point M est dit image de t . On désigne par U, V, W les points d’intersection du plan d’équation x + y + z −1= 0 avec les axes de coordonnées Ox, Oy , Oz, respectivement. On rappelle que, pour que les trois nombres réels x, y,z soient les mesures des côtés d’un triangle, il faut et il suffit que chacun d’eux soit positif et inférieur à la somme des deux autres.

1. Démontrer que l’ensemble formé par les images M de tous les triangles t de (T ) est l’intérieur d’un triangle DEF dont les sommets D, E, F appartiennent respectivement aux plans de coordonnées Oy z, Ozx, Ox y .

Vérifier que l’imageGd’un triangle équilatéral t de (T ) coïncide avec le centre de gravité du triangle DEF.

2. On effectue sur les sommets A, B, C d’un triangle t de (T ) toutes les permuta- tions possibles, ce qui donne pour les images les six points :

M1(x ; y ; z); M2(y ; z ; x); M s(z ; x ; y);

M4(y ; x ; z); M5(x ; z ; y); M6(z ; y ; x).

Etudier la configuration de ces six points dans le plan du triangle DEF.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

On indiquera dans ce plan la construction des points M4,M5,M6 à partir du point M1 et la construction du triangle M1M3M2 à partir du triangle M4M5M6. (La figure de géométrie plane correspondante sera effectuée en représentant DE par une longueur de 10 cm environ).

En déduire que les 6 points Mi sont sur un même cercle de centre G dont on calculera le rayon en fonction de x, y,z.

3. Quelles sont les images des sous-ensembles de (T ) suivants : triangles rec- tangles en C, triangles rectangles en A, triangles rectangles en B ?

Les dessiner avec soin sur une nouvelle figure de géométrie plane représen- tant le triangle DEF.

4. Quelle est l’image du sous-ensemble de (T ) formépar les triangles ayant leurs côtés en progression géométrique, AB étant le côté moyen ? Un tel triangle peut-il être rectangle ?

Paris Mathématiques et Mathématiques-Technique2 juin 1966

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