Mathématique et technique - exercices d'algèbre 9, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 9 sur l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, la transformation ponctuelle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Poitiers juin 1966 \

EXERCICE 1 points

Déterminer les fonctions y de la variable x vérifiant l’équation

2y ′+3y = 0.

Soit y1 la fonction particulière qui prend la valeur e (e : base des logarithmes népé-

riens) lorsque x =− 2

3 .

Étudier cette fonction et construire son graphe. Préciser, à 10−4 près, la valeur de y1 pour x = 1. Montrer que tous les graphes des fonctions y se déduisent du graphe de la fonction y1 par une transformation géométrique simple.

PROBLÈME points

Ondonne, dans un repère orthonormé (Ox, Oy), le cercle (C ) de centre O et de rayon a (a > 0). On appelle (D) la polaire d’un point M par rapport à (C ), H étant le point d’intersec- tion de (D) et OM .

1. On suppose que M décrit un cercle (Γ). Trouver l’ensemble des points H et l’enveloppe de la droite (D).

Discuter la nature de cette enveloppe suivant la position de O par rapport à (Γ).

2. Soit x0, y0 les coordonnées de M ; établir l’équation de (D). (R décrivant la

droite (D), on pourra utiliser le produit scalaire −−→

OR · −−−→

OM .)

Calculer, en fonction de x0 et y0, les coordonnées des points P et Q intersec- tion de (D) avec Ox et Oy .

Montrer analytiquement que, si (D) passe par un point fixe de coordonnées p et q , M décrit une droite fixe, dont on formera l’équation en fonction de p et q .

Expliquer géométriquement ce résultat.

3. Soit M ′ le quatrième sommet du rectangle OP M Q construit sur OP et OQ comme côtés.

Calculer les coordonnées de M ′ en fonction des coordonnées x0 et y0 de M .

Montrer que l’on a ainsi défini une transformation ponctuelle associant M ′ à M . Comment faut-il choisir M pour que M ′ soit défini ?

La transformation est-elle involutive ?

Quels sont les points doubles ?

Trouver, en fonction de x0 et y0, l’équation du cercle (L) de diamètre M M ′ et montrer que la puissance de l’origine par rapport à ce cercle est constante.

En déduire que (L) est orthogonal à un cercle fixe.

On suppose que le milieu de M M ′ décrit une droite (∆). Montrer que le cercle (L) appartient à un faisceau, dont on discutera la nature suivant la distance de O à (∆).

Donner une construction simple des points remarquables de ce faisceau dans chaque cas.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Montrer que, si M décrit une droite d’équation ux+v y +w = 0, M ′ décrit une hyperbole, dont on donnera l’équation en fonction de u, v et w .

Soit (H ) l’hyperbole correspondant à la droite x +2y a = 0.

Construire (H ) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). Déterminer, à 1

100 près par défaut, l’aire (S) comprise entre (H ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x =−3.

Poitiers 2 juin 1966

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