Mathématique - exercices 1, Exercices de Logique mathématique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Mathématique - exercices 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les entiers, le reste de la division, la fonction définie, les variations.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix en Provence juin 1970 \

EXERCICE 1

On donne un carré ABCD dans le plan. Le point M étant un point variable de la diagonale AC (entre A et C), on construit le cercle (α) tangent à AD en A et passant par M , ainsi que le cercle (γ) tangent à CD en C et passant aussi par M . Ces deux cercles ont un point commun, P , autre que M . Montrer que l’axe radical de (α) et de (γ) passe par un point fixe. Trouver l’ensemble des points P quand M parcourt la diagonale AC.

EXERCICE 2

Les entiers seront écrits ici dans la base dix. En remarquant que 999= 27×37, montrer que pour tout entier positif n

103n ≡ 1 (mod37).

En déduire le reste de la division par 37 du nombre

1010+1020+1030.

PROBLÈME

Dans tout le problème, m est un paramètre strictement positif.

1. Soit ϕm la fonction définie, pour x > 0, par la formule

ϕm(x)= x 2 +mLog x,

où Log désigne le logarithme népérien.

Déduire des variations de ϕm que cette fonction s’annule pour une et une seule valeur, αm qui est comprise entre 0 et 1. (On ne cherchera pas à calculer αm )

2. Soit fm la fonction définie, pour x > 0, par la formule

fm (x)= 1− x + m

x (1+Log x).

Étudier les variations de fm .

Montrer que les courbes (Cm), représentatives des fm dans un repère carté- sien, admettent les mêmes asymptotes, dont l’une, (D), n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Préciser (D) ∩(Cm) et la position de (Cm) par rapport à (D).

Construire (C1) (Onmontrera, à cette occasion, que 1

e <α1 < 1.)

3. Montrer que (Cm) est transformée de (C1) par une transformation géomé- trique très simple, à préciser, Am .

Discuter le nombre de courbes (Cm) passant par un point, P du plan, selon la position de P dans le plan.

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