Mathématique - exercices 10, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers naturels, les coordonnées deMen fonction de a et de m.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Cambodge et Laos juin 1970 \

EXERCICE 1

Déterminer les entiers naturels n tels que le nombre (2×3n +3) soit divisible par 11.

EXERCICE 2

Dansun plan (P)muni du repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , onmarque le point A(2a ; 0), (a est un réel positif donné), la droite (D) passant par A, telle que

(xx, D)=− π

3 +,

le cercle variable (P) passant par O et A et dont le centre, I, a une ordonnée variable, m ; la droite (D) recoupe (P) en M. Étudier le triangle OIMet en déduire queMest l’image de I dans une similitude dont on déterminera le centre, l’angle et le rapport. Calculer les coordonnées deM en fonction de a et de m.

EXERCICE 3

1. On considère la fonction f de la variable réelle x telle que

f (x)= x2+1

x .

Étudier les variations de la fonction f et la représenter graphiquement, le plan

étant rapporté au repère (

O, −→

ı , −→

)

orthonormé. Soit (H) la courbe obtenue.

Calculer l’aire de la région délimitée par cette courbe, son asymptote oblique et les droites x = 1 et x = a, a étant un réel positif, non nul.

Quelle est la limite de cette aire quand a tend vers l’infini ou tend vers zéro ?

2. Si −→

k est le vecteur unitaire défini par

(

−→

ı , −→

k )

=

π

4 +2(n entier relatif),

déterminer les formules de changement de repère si l’on remplace le repère (

O, −→

ı , −→

)

par (

O, −→

k , −→

)

. Trouver l’équation de la courbe (H) par rapport au

repère (

O, −→

k , −→

)

.

En déduire l’équation de (H) rapportée à ses axes de symétrie. (On ne de- mande pas une valeur approchée décimale des constantes numériques qui figurent dans cette dernière équation.)

3. Dans cette question, indépendante des précédentes, on pose z = x+ iy et l’on demande de calculer, connaissant les nombres x et y réels donnés non nuls simultanément, la partie réelle et la partie imaginaire du nombre

Z = z2+1

z

On considère la transformation ponctuelle qui, au point m d’affixe z, associe le point M d’affixe Z .

Déterminer l’ensemble des pointsm tels quem etM soient alignés avec l’ori- gine, O, du repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy utilisé.

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