Mathématique - exercices 13, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la transformation ponctuelle plane, les points de l’axe réel d’abscisses respectives.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1970 \

EXERCICE 1

1. Soit la fonction f de la variable réelle x, définie par

y = f (x)= x p 3− x.

Déterminer son sens de variation et construire la courbe représentative, (C ), dans le repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy .

2. Vérifier que la fonction F définie par

F (x)=

(

2

5 x2−

2

5 x

12

5

)p 13− x

est une primitive de la fonction f .

Calculer l’aire de la surface limitée par l’axe x′Ox, la courbe (C ) et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 3.

EXERCICE 2

On considère la fraction n+9

n−6 , où n est un entier supérieur à 6.

1. Trouver les valeurs de n pour lesquelles la fraction est équivalente à un entier.

2. Trouver les valeurs de n pour lesquelles la fraction est réductible.

EXERCICE 3

L’étudeproposée concerne l’ensembleS constitué, d’unepart, des similitudes planes directes de centre O donné, de rapport k positif et d’angle θ, et, d’autre part, de la transformation ponctuelle qui, à tout point M du plan, associe le point O, transfor- mation considérée comme une similitude singulière de centre O, de rapport nul. Étant donné deux éléments,

S1 (O, k1, θ1) et S2 (O, k2, θ2) ,

de l’ensemble S , on définit une transformation ponctuelle du plan, notée T = S2⋆ S1 de la manière suivante : M1 et M2 sont respectivement les homologues de M dans les similitudes S1 et S2 ; l’homologue du point M dans la transformation T est le point P tel que

−−→ OP =

−−−→ OM1 +

−−−→ OM2 .

1. Pour se familiariser avec la transformationT , construire le pointP , transformé d’un point M quelconque du plan, lorsqu’on donne

S1

(

O, 1

3 , π

6

)

S2

(

O, 1 p 3 , 2π

3

)

,

et calculer (−−−→ OM ,

−−→ OP

)

et OP

OM .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes Ox, Oy . On rappelle qu’à toute similitude S(O, k, θ) transformant un point M quelconque du plan en unpoint M ′ , onpeut associer l’application du corpsC desnombres complexes sur lui-même, définie par z ′ = az, où z et z ′ sont respectivement les affixes des points M et M ′ et a le nombre complexe demodule k et d’argument θ. On dira que a est l’opérateur complexe de la similitude S.

a. Calculer l’affixe, Z , du point P en fonction de l’affixe, z, du point M et des opérateurs, a1 et a2, des similitudes S1 et S2.

En déduire que la transformation T est une similitude de S , dont on calculera le rapport et l’angle en fonction dę 1,k2,θ1 et θ2.

b. Montrer que l’application f qui, à toute similitude S de S fait corres- pondre son opérateur complexe a, est une bijection de S sur C vérifiant

f (S1⋆S2)= f (S1)+ f (S2)

quels que soient les éléments S1 et S2 deS , c’est-à-dire un isomorphisme de (S , ⋆) sur (C, +).

3. Montrer que S , muni de la loi ⋆, est un groupe commutatif.

Quel en est l’élément neutre ? Préciser le rapport et l’angle de la similitude S ′, symétrique de S (O, k, θ) pour la loi ⋆.

4. La loi de composition des similitudes associe au couple ordonné (S1, S2) la similitude notée S2 ◦S1. Quel est l’opérateur complexe de S2 ◦S1 ?

Montrer que S muni des lois ⋆ et ◦ est un corps isomorphe au corps des nombres complexes.

Bordeaux 2 juin 1970

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