Mathématique - exercices 14, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé d’axes, la fraction.
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DijonCseptembre1970*.dvi

[ Baccalauréat C Dijon septembre 1970 \

EXERCICE 1

Résoudre l’équation

3x+2+9x−1 = 1458,

x est l’inconnue (réelle).

EXERCICE 2

1. Résoudre dans le corps, C, des nombres complexes l’équation

z2+ (i−1) (p

3−3 )

z −12i= 0,

z est l’inconnue et i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 .

2. Calculer le module et l’argument des racines.

EXERCICE 3

On considère deux plans, l’upn (P) rapporté à un repère orthonormé d’axes Ox et Oy , l’autre (R) rapporté à un repère orthonormé d’axes ωp et ωq . À tout point m de (R) de coordonnées, (p ; q), on associe l’ensemble (Cm) des points de (P) dont les coordonnées x et y vérifient, l’équation

y2 = x2−2px +q ;

m est appelé le point représentatif de (Cm ) dans (R).

Partie A

1. Dans quelles régions du plan (R) le point m doit-il se trouver pour que l’en- semble (Cm) soit

– un ensemble de deux droites ; – une hyperbole d’axe focal Ox ; – une hyperbole d’axe focal Oy ?

Construire les courbes (

Cm0 )

et (

Cm1 )

avec m0(+1 ; −8) et m1(+1 ; +5).

2. Quel est l’ensemble des points m de (R) représentatifs des hyperboles (Cm) ayant pour centre le point, I, de coordonnées (0 ; α),α étant donné ?

3. Quel est l’ensemble des points m de (R) représentatifs des hyperboles (Cm) dont la distance focale 2c = FF′ est donnée ?

Partie B

Dans toute cette partie, le point m décrit dans (R) la droite (∆) d’équation

q −2ap +a2 = 0 (a nombre réel donné).

1. Montrer que les ensembles (Cm) associés aux points m de (∆) passent par un point fixe A.

2. Montrer que, lorsque les ensembles (Cm) sont des hyperboles, ces hyperboles sont tangentes en A à une droite fixe.

3. Déterminer le centre et le cercle principal d’unehyperbole (Cm) et caractériser l’ensemble des cercles principaux.

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