Mathématique - exercices 3, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan la fonction vectorielle, les fonctions de la variable réelle, la transformation T.
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[ Baccalauréat C Amérique du Sud décembre 1969 \

EXERCICE 1

Étant donné un carré ABCD de côté a, on associe à tout point M du plan la fonction vectorielle f définie par

−−−−→ f (M) = 3

−−→ MA +

−−→ MB −2

−−→ MC −2

−−−→ MD .

Démontrer que, lorsqueM décrit le plan ABCD, −−−−→ f (M) reste équipollent à un vecteur

fixe, que l’on déterminera. En déduire l’ensemble des points M du plan ABCD tels que

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∣= ∣

−−−−→ f (M)

∣ .

EXERCICE 2

Soit f et g les fonctions de la variable réelle x définies par

f (x)= 1

x−1 et g (x)=

1

x+1 .

Construire en repère orthonormé les graphes (C1) et (C2) de f et g . Déterminer l’aire,A , du domaine limité par (C1), (C2) et les droites d’équations res- pectives

x = 2 et x =n, n > 2.

Quelle est la limite de A lorsque n tend vers +∞ ?

EXERCICE 3

On désigne par a et b deux nombres réels et par R l’image du couple (a ; b), dans un

plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On étudie la transformation T du plan complexe qui, au point M d’affixe Z , Z 6= b, fait correspondre le point M ′ d’affixe Z ′ défini par la relation .

Z ′ = T (Z )= a+Z bZ

1. Déterminer l’ensemble (E) des points R tels que la transformation T admette un point double et un seul.

Pour tout point R n’appartenant pas à (E), la transformation T admet deux points doubles H et K d’affixes h et k. Déterminer les régions dans lesquelles doit se trouver R pour que h et k soient réels ou ne le soient pas.

2. Déterminer T T (Z ) et T T T (Z ). En déduire que la relation a = b2+b+1 est une condition nécessaire et suffi- sante pour que T T T soit l’application identique. Montrer qu’il n’existe aucun point R tel que la transformation T admette deux points doubles H et K d’affixes réelles et que T T T soit l’identité.

3. Déterminer h et k pour a = 3 et b = 1 (on notera H le point double d’ordonnée positive).

a. Démontrer que

Z h Z k

: Z ′−h Z ′−k

est indépendant de M . En déduire que T conserve globalement le fais- ceau de cercles à points limites H et K .

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

b. Montrer que la transformation S =U T U−1 est une rotation, que l’on caractérisera,U désignant la transformation définie par

U (Z )= −Z + i

p 3

Z + i p 3

.

4. Lorsque a = 1 et b = 3, déterminer le point double unique N , d’affixe n, de la transformation T .

Montrer qu’alorsW =V −1◦T V est une translation, que l’on caractérisera,V désignant la transformation définie par

V (Z )= Z

Z −1 N. B. - Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres, ainsi que les parties a et b de la troisième question.

Amérique du Sud 2 décembre 1969

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