Mathématique - exercices 5, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, l’expression trigonométrique de Z, l’ensemble des points P.
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[ Baccalauréat C Amiens septembre 1970 \

EXERCICE 1

Résoudre dans R l’équation

22x−1+3x +4x+ 1 2 −9

x 2+1 = 0

et donner ses racines, si elles existent, à 10−8 près.

EXERCICE 2

Étudier la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= ex +Log |x|.

On pourra étudier le signe de x f ′(x) pour x 6= 0. On ne demande pas de calculer les points d’inflexion. Calculer, pour x 6= 0, la dérivée de la fonction xLog |x|. Calculer l’aire de la surface comprise entre la courbe, l’axe des x et les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x =α, pour α> 2. Montrer que cette aire tend vers +∞ quand α tend vers +∞.

PROBLÈME

Par rapport à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, une conique (γ) a pour équation

15x2−10y2−30ax+9a2 = 0,

a désigne un nombre réel strictement positif donné.

1. Quelle est la nature de la conique (γ) ?

Calculer les coordonnées de son centre, de ses sommets, déterminer les équa- tions des asymptotes s’il y a lieu.

Quelle est la valeur de son excentricité ?

Soit M un point quelconque de (γ), de coordonnées x et y . Calculer, en fonc- tion de a et de l’abscisse x de M , l’expression rationnelle de la longueur OM (on distinguera deux cas).

On pose OM = ρ, (

−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

= θ (mod 2π).

Calculer ρ en fonction de a et de θ.

2. Soit α un nombre réel et () la droite passant par O et par le point d’affixe = cosα+ i sinα.

Lorsque () n’est pas parallèle à une asymptote de (γ), on note M ′ et M ′′ les points d’intersection de () et, de (γ), z ′ et z ′′ les affixes de ces points.

a. Calculer z ′ et z ′′ en fonction de α.

b. On considère le point, P , d’affixe Z définie par

2

Z =

1

z ′ +

1

z ′′

Donner l’expression trigonométriquede Z . Quel est l’ensemble des points P quand α varie ?

Que peut-on dire de la figure formée par les points O, P,M ′ et M ′′ ?

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

3. Soit (I) l’inversion de pôle O laissant invariant le cercle principal de (γ),m′,m′′

et p les transformés par (I) deM ′,M ′′ et P .

Quelle est la puissance de l’inversion (I) ? Quelles particularités les positions relatives de m′,m′′ et p et la longueur du segment mm′′ ont-elles quand α varie ? Quel est l’ensemble des points P ?

Amiens 2 septembre 1970

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