Mathématique - exercices 6, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le module et l’argument du nombre complexe, la fonction f , la valeur de l’aire du domaine.
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[ Baccalauréat C Besançon juin 1970 \

EXERCICE 1

On considère le nombre complexe, z, demodule 1, d’argumentα dont une détermi- nation α0 est telle que −π6α0 <π.

1. Calculer, en fonction de α, le module et l’argument du nombre complexe

Z = 1+ z + z2.

2. On considère un deuxième nombre complexe, z ′, demodule 1, d’argument β.

Dans le cas où il est défini, montrer que le nombre complexe z + z

1+ zz ′ est un

nombre réel.

EXERCICE 2

On considère la fonction f , de la variable réelle x, définie par

x 7−→ f (x)= sinx

cosx + sinx .

1. Étudier son domaine de définition. Montrer qu’elle est périodique de période

π et étudier ses variations dans l’intervalle

]

π

4 ; 3π

4

[

.

Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

2. Calculer les primitives de f . Onmettra d’abord f (x) sous la forme

f (x)= A+B

(

−sinx +cosx

cosx + sinx

)

,

A et B sont des constantes à préciser. On rappelle ensuite qu’une primitive

de la fonction u

u est Log |u|, où le symbole Log désigne la fonction logarithme

népérien.

En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x = 0,x = π2 parallèles à l’axe des or- données.

PROBLÈME

1. Dans un plan, on appelle I l’inversion de pôle O et de puissance k2 (k réel positif), S la symétrie par rapport à une droite (D) passant par O et T la trans- formation T = S I (le symbole ◦ désignant la loi de composition des transfor- mations).

Montrer que la transformation T est aussi le produit d’une inversion, I ′, de pôle O et de puissance négative, et d’une symétrie, S ′, par rapport à une droite (D ′), soit T = S ′ ◦ I ′.

Chacun des produits S I et S ′ ◦ I ′ est-il commutatif ?

La transformation T est-elle involutive ?

Le plan est rapporté à deux axes orthonormés, x′Ox, y ′Oy , l’axe x′Ox étant pris sur la droite (D). Un point M , de coordonnées (x ; y) dans ce repère, peut être considéré comme l’image du nombre complexe z = x + iy .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Si M ′ est l’image du point M par la transformation T et représente le nombre complexe z ′ = x′+ iy ′, calculer z ′ en fonction de z.

Montrer que la transformation T a deux points doubles, A et B, que l’on préci- sera.

2. a. Étudier le transformé d’un cercle (C ) appartenant au faisceau dont les points limites sont A et B.

b. Étudier le transformé d’un cercle (C ′) appartenant au faisceau dont les points de base sont A et B. En déduire une construction simple du point M ′, transformé de M par T .

3. Le plan étant rapporté au repère défini précédemment, un point M est défini

par les égalités OM = r et (

−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

= θ.

Le point M ′ étant son transformé par T , on appelle P le milieu de M M ′.

Calculer les coordonnées de P en fonction de r et de θ.

a. Quel est l’ensemble des points P lorsque r a une valeur constante, r0 ? Préciser ses éléments géométriques.

b. Quel est l’ensemble des points P lorsque θ a une valeur constante, θ0 ? Préciser ses éléments géométriques.

Montrer que la tangente en un point P de cet ensemble est la droite M M

correspondante.

Besançon 2 juin 1970

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