Mathématique - exercices 7, Exercices de Logique mathématique

Mathématique - exercices 7, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des réels, la translation de vecteur parallèle, la fonction inconnue.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1970 \

EXERCICE 1

N désignant un entier naturel non nul, on considère les entiers de la forme N4+4.

1. Décomposer, dans le corps des réels, le polynôme x4+4 en produit de deux facteurs du second degré.

En déduire que 5 est le seul nombre premier de la forme N4+4.

2. Montrer que, si N n’est pas un multiple de 5,N4+4 est unmultiple de 5.

EXERCICE 2

On considère quatre points distincts A, B, C et D alignés sur une droite (∆) et un point M extérieur à (∆) tel que

(MA,MB)= (MC,MD) (modπ).

Montrer que les cerclesMAB et MCD se correspondent dans une translation de vec- teur parallèle à (∆) ou dans une homothétie dont le centre est situé sur (∆).

EXERCICE 3

Partie I

On considère l’équation différentielle

(1) y ′′+4y = 3sinx,

y est la fonction inconnue. On pose y = u+αsinx, où u est une nouvelle fonction inconnue et α une constante réelle.

1. Pour quelle valeur de α la fonction u vérifie-t-elle l’équation différentielle

(2) u′′+4u = 0,

lorsque y vérifie (1) ?

2. Quelle est la solution générale de (2) ? En déduire toutes les solutions de (1).

3. Montrer qu’il n’existe qu’une seule solution de (1) vérifiant les conditions

y (π

2

)

= 0 et y ′(π)= 0.

Déterminer cette solution.

Partie II

Dans un repère orthonormé, les droites (D) et (D′) admettent les représentations paramétriques suivantes : (D) x = 1+λ, y = 1−λ, z =λ,λ ∈R; (D′) x = 2µ, y = 1, z =−2µ,µ ∈R. Déterminer A ∈ (D) et B ∈ (D′) tels que la distance AB soit minimale.

Partie III

On suppose qu’il existe une fonction continue unique f définie sur R, vérifiant

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

(1)

{

x et∀y ∈R, f (x + y)+ x + y = [ f (x)+ x][ f (y)+ y]

et (2) f (1)= e−1 (e : base des logarithmes népériens).

1. En posant x = y = t

2 , vérifier que

(3) ∀t ∈R, f (t)+ t > 0

et montrer que, s’il existe un x0 ∈R tel que f (x0)+ x0 = 0,

alors

(4) ∀x ∈R, f (x)+ x = 0.

En déduire, par la considération de (2), que f (x)+ x n’est jamais nul et établir que f (0)= 1.

2. Montrer que

(5)

{

x ∈Ret∀n ∈N, f (nx)= [ f (x)+ x]n nx.

Posant y =−x dans (1), calculer f (−x)−x et établir que (5) reste vérifiée∀x ∈R et ∀n ∈Z.

3. Calculer, en fonction du nombre e et de l’entier q , l’expression

f

(

1

q

)

+ 1

q

Montrer, en utilisant (5), que l’on a

(6)

{

x ∈Q (Q : ensemble des rationnels), f (x)= ex x.

4. On admet, dans la suite, que la fonction f ainsi déterminée sur les rationnels est encore définie par

f (x)= ex x, ∀x ∈R[on vérifiera que (1) a lieu].

a. Trouver, lorsque x tend vers+∞ et lorsque x tend vers−∞, les limites de ex

x −1. x En déduire, dans les mêmes conditions, les limites de f (x).

Étudier et représenter graphiquement les variations de f , en soignant particulièrement l’étude des branches infinies.

Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative au point x = 1 ?

b. Évaluer l’aire, A (X ), de la portion de plan comprise entre la courbe, son asymptote et les droites d’équations x = 0 et x = X (X < 0). Que peut-on dire de A (X ) lorsque X tend vers −∞ ?

5. a. Montrer que l’on a

(7)

{

X ∈R, 1+ x 6 ex .

Bordeaux 2 juin 1970

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. On pose

Pn(a)= (1+a) (

1+a2 )

. . . (

1+an )

,

pour a > 0.

Vérifier que Pn(a) est une fonction croissante de n satisfaisant

(8) 0< Pn(a)< e 1−an 1−a (n > 0).

Montrer enfin que, pour 0< a < 1, il existe des nombres M dépendant de a vérifiant

(9) ∀n ∈N, Pn (a)< M .

Préciser, en fonction de a, une valeur possible de M .

N. B. - Les questions 4. et 5. sont indépendantes des questions précédentes.

Bordeaux 3 juin 1970

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