Mathématique - exercices 8, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction f définie, le repère orthonormé, les affixes des points, le segment de droite.
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[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1970 \

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de la fonction f définie, dans R, par

f (x)= x+ 1

x2 −

1

x

2. Construire dans le plan muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, les axes

étant x′Ox et y ′Oy , la courbe d’équation y = f (x).

3. Calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe précédente et les droites d’équations respectives y = x, x = e et x = 1.

EXERCICE 2

Montrer que, pour n> 1, le nombre

A = 3×52n−1+23n−2

est divisible par 17. (On pourra, soit raisonner par récurrence, soit utiliser les congruences modulo 17.)

PROBLÈME

Dans le plan complexe (P), muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on appelle T

la transformation ponctuelle qui à un point m d’affixe z fait correspondre le point M d’affixe Z telle que

Z = z2+1

z .

On écriraM = T (m). On désigne par

(

P⋆ )

le plan privé du point O. Soit (e) un sous-ensemble de

(

P⋆ )

; on appelle E = T (e) l’ensemble des points M transformés par T des pointsm de (e).

Partie A

1. Montrer que T est une application de (

P⋆ )

dans (P).

Montrer que tout point M de (P) est le transformé par T de deux points m1 et m2 de

(

P⋆ )

, à l’exception d’un point A qui n’est le transformé que d’un point a et d’un point B qui n’est le transformé que d’un point b.

2. z1 et z2 étant les affixes des points m1 et m2 ayant le même transformé M d’affixe Z donnée, établir la relation

z1 . z2 = 1;

en déduire la construction dem2 connaissantm1.

Montrer que z1+ z2 = Z et construire alorsM = T (m) connaissantm.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

3. Le sous-ensemble (e) étant donné, il existe donc un deuxième sous-ensemble (e ′) de (P) tel que

E = T (e)= T (

e ′ )

.

Montrer que (e ′) est le transformé de (e) par le produit commutatif d’une in- version et d’une symétrie droite.

4. Montrer que T n’a pas de point double. Montrer que les coordonnées (X ; Y ) deM sont liées aux coordonnées (x ; y) dem par les relations

X = x

(

1+ 1

x2+ y2

)

et Y = y

(

1− 1

x2+ y2

)

.

Partie B

1. a. Déterminer (e1) tel que T (e1) soit la droite xx.

b. Déterminer (e2) tel que T (e2) soit la droite y y .

c. Déterminer (e3) tel que, quel que soit m de (e3), les trois points O, m et M = T (m) soient alignés.

2. Soit (e4) le cercle de centre O et de rayon R.

a. Montrer que (E4)= T (e4) est un segment de droite si R = 1, une ellipse si R 6= 1.

b. Déterminer (

e ′4 )

tel que (E4)= T (e4)= T (

e ′4 )

.

N. B. - Les questions B, 1. et B, 2. sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

Bordeaux 2 septembre 1970

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