Mathématique - exercices 9, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les éléments de la transformation, les relations, les coordonnées.
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[ Baccalauréat C Caen septembre 1970 \

EXERCICE 1

Reconnaître géométriquement et préciser les éléments de la transformation T qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe

z ′ = (1+ i p 3)z +3.

EXERCICE 2

Soit la fonction

f : x 7−→ y = x2Log x x2

2 .

Étudier les limites de y et de y

x quand x → 0 et quand x →+∞.

Calculer la dérivée de f , trouver le sens de variation de f et tracer son graphe (C ) dans un repère orthonormé. Calculer la dérivée de

y = x3

3 Log x

5x2

18 .

En déduire l’aire du domaine limité par l’axe xx, la droite x =λ (

0<λ< p e )

et l’arc du graphe (C ) situé au-dessous de l’axe xx. Calculer la limite de cette aire lorsque λ tend vers 0.

PROBLÈME

Le plan (P) étant rapporté à un repère orthonormé xOy , on considère la transforma- tion ponctuelle qui, à un point M de coordonnées x et y , fait correspondre le point M ′ de coordonnées x′ et y ′. La transformation est définie par les relations

OM . OM ′ = a2 et −−→ AM et

−−−→ AM ′ sont colinéaires,

a est une constante strictement positive et où le point A a pour coordonnées −a et 0. Soit (E) le plan (P) privé de la droite x =−a. Dans tout le problème, on supposera que le point M appartient à (E).

1. Que représente le produit OM . OM ′ pour le cercle (Γ) de diamètre M M ′ ? Que peut-on dire du cercle (Γ) et du cercle dont le centre est O et le rayon a ?

Si M décrit une droite fixe (∆) passant par A, montrer que les cercles de dia- mètre M M ′ appartiennent à un faisceau. Quelle est la nature de ce faisceau ? Quel est son axe radical ?

2. Établir les relations

{

xx′+ y y ′ = a2, y ′(a + x) = y

(

a + x′ )

.

Calculer x′ et y ′ en fonction de x, y et a.

En déduire, sans nouveau calcul, x et y en fonction de x′, y ′ et a.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Déterminer le sous-ensemble (E′) des points M de (E) qui admettent un trans- formé. Vérification géométrique.

Montrer que la transformation est involutive sur (E′). Déterminer les points doubles de cette transformation.

3. On suppose que le point M décrit la droite d’équation x = a. Quel est l’en- semble décrit par le point M′ ? Préciser les éléments géométriques de cet en- semble.

4. Le point M décrit la droite d’équation x = a

u−1 où u est un paramètre diffé-

rent de 0 et de 1, positif ou négatif.

Quel est l’ensemble décrit par le point M ′ ? Discuter la nature de cet ensemble suivant la valeur de u.

5. Construire les ensembles correspondant aux valeurs suivantes de u :

u = 4, u = 1

4 , etu =−1.

Caen 2 septembre 1970

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