Mathématique - exercitation 10, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé, l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R
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[ Baccalauréat C Reims juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère les trois entiers naturels a, b, c qui s’écrivent dans la base n

a = 111, b = 114, c = 13054

1. Sachant que c = ab, déterminer n , puis l’écriture de chacun des nombres a, b, c dans le système décimal.

2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que a et b sont premiers entre eux. En déduire les solutions dans Z2 de l’équation ax+by = 1.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit a et b deux nombres réels ; on considère l’application affine Fa, b de P dans P

qui à tout point M de P de coordonnées x, y dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

associe le

point Fa, b(M) de coordonnées

X = ax+by et Y = bx+ay

dans ce même repère.

1. Déterminer les axes de symétrie et les asymptotes de l’hyperbole (h) du plan

P dont l’équation est x2− y2 = 1 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Donner suivant les valeurs de a et b l’image du plan P par Fa, b .

3. Dans le cas où Fa, b est bijective, montrer que l’image de (h) par cette applica- tion est une conique (H) dont on donnera la nature.

4. On suppose maintenant que Fa, b n’est pas bijective.

Trouver l’image de la courbe (h) par Fa, b .

PROBLÈME 12 POINTS

Problème 12 points SoitF l’espace vectoriel des fonctionsnumériques définies surR etC le sous-espace vectoriel de F constitué par les fonctions continues. À tout élément f deC on associe la fonction définie sur R par :

(x)= ∫x

0 t f (t)dt pour tout xréel.

On appelle ϕ l’application deC dans F définie par ϕ( f )=

Partie A

1. Calculer f dans les cas suivants :

a. f (t)= 1

b. f (t)= tn , n entier> 1

c. f (t)= sin t

d. f (t)= cos t

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. Soit g la fonction définie sur R par

g (t)=

0 si t 6 0 t si 0< t < 1 1

t2 si t > 1

a. Vérifier que g est un élément deC .

b. Calculer (x) sur chacun des intervalles suivants :

]−∞ ; 0], ]0 ; 1[, [1 ; +∞[

c. Tracer avec précision dans des repères différents les courbes représenta- tives des fonctions g , et g⋆ où g⋆ est définie par

{

g⋆(x) = 2

x2 pour x 6= 0

g⋆(0) = 0

3. Montrer que si f est un élément de C , alors est dérivable et sa dérivée est continue.

4. Montrer que ϕ est une application linéaire de C dans C . Montrer que ϕ est injective.

Montrer en donnant un exemple que ϕ n’est pas surjective.

5. Pour tout élément f de C , on note M(x) le maximum de | f (t)| quand t est compris entre 0 et x. Montrer que l’on a alors pour tout x réel

(x) ∣

∣ (x)6M(x) x2

2 .

Partie B

On pose, pour tout élément f deC

f⋆(x)=

{ 2

x2 (x) si x 6= 0

f (0) si x = 0

et on appelle ψ l’application deC dans F définie parψ( f )= f⋆.

1. On désigne par f0 la fonction définie par f0(x)= 1 pour tout x réel.

Calculer ψ (

f0 )

.

2. Soit f un élément de C s’annulant au point 0 ; montrer, en utilisant le résultat A 5. que f⋆ est alors continue en 0.

3. Soit f un élément deC . On définit h sur R par

h(x)= f (x)− f (0).

Montrer que l’on a ψ( f )=ψ(h)+ f (0) f0.

En déduire queψ( f ) est une fonction continue sur R.

4. Calculer f⋆ dans les cas suivants :

a. f (t)= sin t

b. f (t)= cos t

En déduire les limites suivantes :

lim x→0

sinxx cosx

x2 = 0

lim x→0

cosx−1+ x sin x

x2 =

1

2

Reims 2 juin 1978

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