Mathématique - exercitation 11, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, le triangle équilatéral.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans le corps des nombres complexes C l’équation :

4x4+3x2+1= 0

Montrer que les solutions sont conjuguées deux à deux.

2. Écrire le polynôme 4x4+3x2+1 sous la forme d’un produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels. (Cette question peut être résolue indé- pendamment du 1.)

3. En déduire que dans tout système de numération de base b supérieure ou égale à cinq, le nombre 40301 est multiple de 211 (ces deux nombres sont écrits en base b).

On prend b égal à neuf ; écrire, dans cette base, le quotient de 40301 par 211.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan affine euclidien P, on considère un triangle équilatéral ABC ; on pose ∥

−−→ AB

∥= a, a > 0.

Soit I le point du plan défini par −→ AI = 2

−−→ AB , a > 0

1. Exprimer IA2, IB2 et IC2 en fonction de a.

2. Trouver un triplet (α ; β ; γ) de réels tels que I soit le barycentre du système {(A, α) ; (B, β) ; (C, γ)}.

3. k étant un réel donné, chercher l’ensemble Ω des points M du plan tels que :

MA2+2MB2−2MC2 = ka2

Peut-on trouver un réel k tel que le point B soit élément de l’ensemble Ω ? Démontrer qu’alors Ω est un cercle, auquel sont tangentes les droites AB et AC.

PROBLÈME 13 POINTS

Dans tout le problème, on considère un plan affine euclidien P rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction f de R dans R définie par

ϕ(x)= 3

5 x+

4

5

∣−x2+4 ∣

et construire sa courbe représentative (C ) dans le repère orthoormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

(On précisera la position de la courbe par rapport aux asymptotes).

2. On désigne par E1 le sous-ensemble de (C ) obtenu pour x ∈ [−2 ; 2], par E2 la courbe symétrique de E1 par rapport à O, et par E l’ensemble E1∪E2.

Démontrer que :

x2+ y2− 6

5 xy

64

25 = 0

est une équation de E .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie B

On considère les applications affines de P dans P définies analytiquement de la fa- çon suivante :

r :

x′ = −y

y ′ = x

f :

x′ = 3

2 x

1

2 y

y ′ = − 1

2 x+

3

2 y

où (x′ ; y ′) désignent les coordonnées, dans (

O, −→ ı ,

−→ )

, du point M ′ transformé du

point M de coordonnées (x ; y).

1. Caractériser r et montrer que f est bijective.

2. a. Démontrer que l’ensemble des points de P invariants par f est unedroite D.

b. Démontrer que si M est un point du plan P, H sa projection orthogonale

sur D, etM ′ l’image deM par f on a : −−−→

HM ′ = 2 −−−→ HM .

3. a. Déterminer l’image (γ) par f de la courbe E définie au A. En déduire que E est une ellipse dont on précisera géométriquement les axes.

b. Démontrer que la courbe E est globalement invariante par :

f −1 ◦ r f

Partie C

Soit θ une application affine du plan P dans lui-même, telle que

(1) (

f −1 ◦ θ f )

(E )= E

1. Démontrer que la relation (1) est équivalente à θ(γ)= γ.

En déduire que l’application θ est bijective.

2. Démontrer que θ(O)=O.

3. Démontrer que θ est une isométrie : on pourra écrire la matrice de l’applica-

tion linéaire associée dans la base (

−→ ı ,

−→ )

.

4. Démontrer que l’ensemble des applications θ vérifiant (1), muni de la loi de composition, est un groupe isomorphe au groupe orthogonal du plan vecto- riel associé à P.

Rennes 2 juin 1978

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