Mathématique - exercitation 12, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Linéariser l’expression, Calculer l’intégrale.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Linéariser l’expression :

f (x)= cos3 ·sin2 x

x est réel.

2. Calculer l’intégrale :

I = ∫ π

2

0 f (x)dx

EXERCICE 2 4 POINTS

Pour tout entier naturel n calculer le reste de la division par 7 de 5n et de 4n . Comment faut-il choisir n pour que le nombre 5n −4n soit divisible par 7 ?

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

C désigne l’ensemble des nombres complexes. À tout couple (a ; b) élément deC×C, on associe l’application ϕa, b de C dans C, définie par :

(∀z ∈C) ϕa, b(z)= az +bz (z étant le conjugué de z)

1. Donner la nature de ϕ1, 0 et de ϕ−1, 0.

2. Démontrer que ϕa, b =ϕa′, b′ si et seulement si (a, b)= (a′, b′). (On pourra par exemple calculer ϕa, b(1) et ϕa, b(i)).

3. Démontrer que ϕa, b est involutive si et seulement si a, b,a a et b vérifient simultanément deux relations que l’on précisera.

Partie A

Soit P un plan affine euclidien orienté et (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

un repère orthonormé direct de

P.

Soit le nombre complexe u = 1 p 5 (1+2i).

On désigne par f l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe complexe z associe le point M1 d’affixe complexe z1 = ϕ 3

4 i, 1+ 3 4 i (z) et par h l’application de P

dans P qui à tout point M d’affixe complexe z associe le point M2- d’affixe complexe z2 =ϕ0, u(z). I.

1. Calculer, pour tout point M de P de coordonnées (x ; y), les coordonnées (

x1 ; y1 )

de M1 = f (M) et les coordonnées (

x2 ; y2 )

de M2 = h(M). 2. Démontrer que f est une application affine involutive. Donner la nature de f

et ses éléments caractéristiques,

3. Démontrer que h est une symétrie orthogonale par rapport à une droite dont on déterminera une équation,

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

II. À tout nombre réel θ on associe l’application = f f , où est la rotation de centre O et dont une détermination de la mesure de l’angle est θ. Soit G =

{

/θ ∈R }

.

1. a. Démontrer que G est stable pour la loi ◦. b. Démontrer que G muni de la loi ◦ est un groupe commutatif.

2. On définit dans P la relation R par :

(∀(M , N ) ∈P2) [M R N ⇐⇒ ∃θ ∈R, N = (M).

Démontrer que R est une relation d’équivalence,

3. Déterminer la classe d’équivalence du point O pour la relation R.

4. Soit A le point de coordonnées (0 ; 2).

a. Démontrer que les coordonnées de (A) sont

(2sinθ ; 3sinθ+2cosθ)

b. Donner une équation de la classe d’équivalence ΓA du point A pour la relation R.

c. On considère les deux fonctions numériques de variable réelle F1 et F2 définies par :

F1(x)= 3

2 x +

4− x2 et F2(x)= 3

2 x

4− x2 .

On appelle C1 et C2 leurs courbes représentatives respectives dans P

muni du repère (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

.

Démontrer que ΓA = C1∪C2. Étudier F1 et F2 et tracer ΓA. (On prendra ∥

−→ e 1

∥ = ∥

−→ e 2

∥ = 2, (unité le cm) et 3,6 comme valeur approchée à 10−1

près par défaut de p 13).

5. Déterminer une équation de ΓA′ , transformée de ΓA par h.

Quelle est la nature de ΓA′ ?

Tracer ΓA′ sur la même feuille que ΓA.

Quelle est la nature de ΓA ?

Rouen 2 juin 1978

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