Mathématique - exercitation 14, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base des logarithmes népériens, l'espace vectoriel euclidien de base orthonormée.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

n désigne un entier naturel.

1. Démontrer que n2+5n+4 et n2+3n+2 sont divisibles par n+1.

2. Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n2+15n+19 est di- visible par n+1.

3. Endéduire que, quel que soit n, 3n2+15n+19 n’est pas divisible parn2+3n+2.

EXERCICE 2 4 POINTS

e représente la base des logarithmes népériens,

1. Justifier l’existence de l’intégrale : ∫1

0 xe−x dx qu’on notera I ,

2. Calculer I .

3. n étant un entier naturel non nul, on pose

S(n)= n

k=1

k

n2 e−

k n =

1

n2 e−

1 n +·· ·+

k

n2 e−

k n +·· ·+

n

n2 e−

n n .

Montrer que S(n) a une limite lorsqu’on fait tendre n vers +∞. Préciser cette limite.

PROBLÈME 12 POINTS

On désigne par :

E un espace vectoriel euclidien de base orthonormée (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

D la droite vectorielle de E de base (

−→ V

)

où −→ V =

−→ ı

−→ +

−→ k .

f l’endomorphisme de E tel que :

f (

−→ ı

)

=−2 −→ ı

−→ +

−→ k , f

(

−→

)

=− −→ ı −2

−→

−→ k , f

(

−→ k

)

= −→ ı

−→ −2

−→ k .

On rappelle qu’un endomorphisme f de E est une application linéaire de E dans E. L’ensemble f (E) s’appelle l’image de E par f (ou plus brièvement, l’image de f ).

N.B. - La partie B est indépendante de A - II

Partie A

I

1. Exprimer les coordonnées de l’image par f d’un vecteur quelconque de E en fonction des coordonnées de ce vecteur.

2. Montrer que le noyau de f est D .

3. Montrer que l’image de f est le plan vectoriel orthogonal à D.

4. Soit −→ u un vecteur de l’image de f ; calculer f

(

−→ u

)

en fonction de −→ u .

5. Montrer que f est la composée d’une homothétie vectorielle h et d’une pro- jection vectorielle p que l’on précisera. Illustrer cette question par une figure.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

II E désigne un espace affine euclidien associé à E, O un point de E et ϕ l’application affine de E laissant O invariant et ayant f pour endomorphisme associé.

Soit S la sphère de centre O et de rayon 3, P le plan passant par O et orthogonal à −→ V .

1. Déterminer l’ensemble Γ des points de S dont l’image par ϕ est S ∩ P.

2. Illustrer la question précédente par une figure.

Partie B

On désigne par ω l’application de E dans E telle que pour tout −→ u ∈ E, ω

(

−→ u

)

= 0 et

parG l’ensemble des endomorphismes g de E tels que f g =ω. On précise que la multiplication par un réelα d’une application linéaire f de E dans E est définie par :

∀ −→ u ∈E, (α f )

(

−→ u

)

=α · f (

−→ u

)

.

1. Montrer que G, muni de l’addition des applications et de la multiplication d’une application par un réel, est un espace vectoriel.

2. a. Montrer que l’image de tout élément g deG est incluse dans le noyau de f .

b. Établir que G est l’ensemble des endomorphismes g de E tels que pour chacun d’eux il existe (a, b, c) ∈R3 tel que :

g (

−→ ı

)

= −→ V , g

(

−→

)

= −→ V , g

(

−→ k

)

= −→ V

3. On considère les endomorphismes g1, g2 et g3 de E tels que :

g1

(

−→ ı

)

= −→ V g1

(

−→

)

= −→ 0 g1

(

−→ k

)

= −→ 0

g2

(

−→ ı

)

= −→ 0 g2

(

−→

)

= −→ V g2

(

−→ k

)

= −→ 0

g3

(

−→ ı

)

= −→ 0 g3

(

−→

)

= −→ 0 g3

(

−→ k

)

= −→ V

Montrer que (

g1, g2, g3 )

est une base deG.

4. Soit g un endomorphisme distinct deω appartenant àG.

a. Montrer que l’image de g est égale au noyau de f .

b. Établir que le noyau de g est un plan vectoriel dont on déterminera une

équation cartésienne dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Strasbourg 2 juin 1978

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