Mathématique - exercitation 15, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans N×N le système, Montrer que f est continue à gauche de 0, Calculer l’aire de la portion de plan définie.
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[ Baccalauréat C Togo juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Résoudre dans N×N le système : {

a2−b2 = 405 3m = ab, m = p.p.c.m.(a,b)

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit la fonction numérique f définie par :

{

f (x) = 1

x2 e

1 x si x 6= 0

f (0) = 0

1. Montrer que f est continue à gauche de 0. Est-elle continue en 0 ?

2. Étudier les variations de f et montrer que f est dérivable à gauche de 0.

Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3. Calculer l’aire de la portion de plan définie par :

{

a 6 x 6 ǫ

0 6 y 6 f (x) aveca < ǫet ǫ< 0

Soit S(a, ǫ) cette aire. Montrer qu’elle admet une limite lorsque ǫ tend vers 0 ; soit Sa cette limite.

Sa admet-elle une limite lorsque a tend vers moins l’infini ?

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

Soit P le plan affine euclidien associé au plan vectoriel euclidien −→ P .

Soit (−→

u , −→ v

)

une base directe de P et (

O, −→ u ,

−→ v

)

un repère de P note (R) d’axes (Ox,

Oy). À l’application de C dans C définie par :

z 7−→ Z =−iz + (1− i)z

correspond la transformation T du plan qui à m, d’affixe z, associe M d’affixe Z .

1. Exprimer les coordonnées X et Y de M en fonction de celles x et y de m.

Vérifier que lemilieu I de (mM) appartient à une droite fixe que l’on précisera, et que si m est distinct de M , la droite (mM) a une direction fixe.

En déduire la nature de la transformation T .

2. a. Soit (R′) le nouveau repère orthonormé (

O, −→ u′ ,

−→ v

)

défini dans P par :

(−→ u ,

−→ u

)

=α, et (−→ u′ ,

−→ v

)

Montrer que les affixes z et z ′ d’unmême point m dans les repères (R) et (R′) sont liées par la relation :

z ′ = z(cosα+ i sinα)

Exprimer en fonction de z ′ et z z ′, l’affixe Z ′ (dans le repère (R′)), de l’image M de m par la transformation T .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

b. On prend α=− π

8 . Montrer que :

Z ′− iz ′− i p

Z z ′.

Calculer les coordonnées X ′ et Y ′ du point M en fonction des coordon- nées x′ et y ′ de m dans le repère (R′).

Soit (γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

Quelle est dans (R′) l’équation de l’image (Γ)= T (γ) ? Quelle est la nature de (Γ) ?

Dessiner (γ) et (Γ) sur une même figure. Préciser quels sont leurs points communs en s’appuyant sur la nature géométrique de T .

Partie B

On associe à tout couple (a ; b) de nombres complexes l’application fa, b de C dans C définie par :

fa,b (z)= az +bz.

1. Mettre ( fa,b fa,b )(z)− z sous la forme Az +B z , A et B étant deux constantes complexes.

Démontrer que Az +B z est nul pour tout z, si et seulement si, A = B = 0 (on pourra pour cela donner à z les valeurs 1 et i).

Traduire alors par un système S de deux relations entre a,b, a et b la condition pour que fa,b soit involutive.

Que deviennent ces relations pour b = a, et pour b 6= 0 ? Vérifier que les valeurs a = −i et b = 1− i utilisées dans la première partie conviennent dans ce dernier cas.

2. Dans cette question, fa,b est supposée quelconque, involutive ou non.

On considère C comme un espace vectoriel sur R.

a. Démontrer que l’application fa,b de C dans C est linéaire.

On prend B = (1, i) comme base de C ; calculer fa,b (1) et fa,b (i).

b. Soit ϕ une application linéaire quelconque de C dans C définie par sa

matrice H = (

p s

r q

)

relativement à B, p, q, r, s étant quatre réels.

Démontrer qu’il existe une application fa,b qui coïncide avecϕ ; à cet ef- fet, on calculeraϕ(i) etϕ(1) et l’on exprimera a et b aumoyen de p,q, r, s.

c. Déduire alors du système S de relations trouvées précédemment, un sys- tème de relations entre p, q, r, s, traduisant la condition pour que ϕ soit involutive.

Retrouver directement ces relations en calculant H2H ×H .

Togo 2 juin 1978

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