Mathématique - exercitation 16, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le paramètre réel, les espérances mathématiques de X et de Y.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1978 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit E un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère l’application f de E dans lui-même qui au point M de coordonnées x et y fait correspondre le point M ′ de coordonnées x′ et y ′ définies par :

x′ = 5 x+

5 y +m

y ′ = 4

5 x

3

5 y +2

m est un paramètre réel.

1. Démontrer que f est une isométrie ponctuelle négative (ou antidéplacement).

2. Pour quelle valeur de m l’application f est-elle une symétrie ponctuelle or- thogonale par rapport à une droite affine de E ?

3. On suppose m = 0. Trouver une droite affine D et un vecteur −→ V tels que

−→ V

appartienne à la direction de D et que f = SD ◦ t−→V = t−→V ◦SD , où SD est la sy-

métrie orthogonale par rapport à D et où t−→ V

est la translation de vecteur −→ V .

On donnera une équation de D et les coordonnées de −→ V .

EXERCICE 2 2 POINTS

Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20. On tire successivement deux boules, en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage (les tirages sont supposés équiprobables). On désigne par X et Y les numéros de la 1re et 2e boule tirées, et on pose Z = X + Y et T = X − Y. Un espace probabilisé

(

Ω, P (Ω), p )

rendant compte de l’expérience est donc formé par l’ensemble Ω des couples (X, Y) d’entiers tels que 16 X6 20 et 16 Y6 20, avec p(X, Y)= 400 pour tout (X, Y) deΩ.

1. Calculer les espérances mathématiques de X et de Y. En déduire celles de Z et T.

2. Calculer la probabilité d’avoir le produit ZT égal à 48.

PROBLÈME 2 POINTS

On rappelle que si f et g sont des fonctions numériques continues sur l’intervalle fermé borné [a ; b], avec a < b, alors f et g sont intégrables sur [a ; b], et que si f (t)6 g (t) pour tout t de [a ; b], alors :

b

a f (t)dt 6

b

a g (t)dt .

On note R l’ensemble des nombres réels et R+ l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls.

Partie A

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. On considère la fonction de ]

π

2 ; π

2

[

dans R définie par x 7−→ tg x.

Démontrer que c’est une bijection de ]

π

2 ; π

2

[

sur R.

Dans toute la suite du problème, on désignera parϕ la fonction réciproque de cette bijection. Préciser le domaine de définition de ϕ, ainsi que les nombres ϕ(0), ϕ(1), ϕ

(p 3 )

et lim x→+∞

ϕ(x).

Tracer dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction de ]

π

2 ; π

2

[

dans R définie par x 7−→ tg x ; en déduire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction ϕ.

2. Démontrer que ϕ′(x)= 1

1+ x2 pour tout x de R. Calculer ϕ′(0) et en déduire la

valeur de lim x→0

ϕ(x)

x .

Démontrer alors que la fonction de R dans R définie par : x 7−→ ϕ(x)

x pour

x 6= 0 et par : 0 7−→ 1, est continue en 0. Démontrer ensuite qu’elle est continue sur tout R .

3. En étudiant les variations des deux fonctions de R+ dans R définies par

x 7−→ xϕ(x) et par x 7−→ xx3−ϕ(x), démontrer que :

06 xϕ(x)6 x3

3 pour tout x > 0.

Partie B

Dans toute la suite du problème, on considère la fonction f de R+ dans R :

f (x)= 1

x

x

0

ϕ(t)

t dt six > 0 et f (0)= 1.

(on ne cherchera pas à calculer l’intégrale qui définit f ).

1. Démontrer que :

1− f (x)= 1

x

x

0

t ϕ(t) t

dt si x > 0

2. En utilisant A 3. et B 1., démontrer que :

06 1− f (x)6 x2

9 si x > 0.

En déduire que f est continue à droite en 0 et que la dérivée à droite de f en 0 est 0.

3. Démontrer que :

06 ∫x

1

ϕ(t)

t dt 6

π

2

x

1

1

t dt =

π

2 Log x si x> 1.

où Log x désigne le logarithme népérien de x.

En écrivant :

f (x)= 1

x

∫1

0

ϕ(t)

t dt +

1

x

x

1

ϕ(t)

t dt ,

démontrer que lim x→+∞

f (x)= 0.

Partie C

Toulouse 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Vérifier que :

x2 f ′(x)=− ∫x

0

ϕ(t)

t dt , pour tout x > 0.

2. On pose g (x)= x2 f ′(x) pour tout x > 0. Vérifier que :

xg ′(x)=−ϕ(x)+ x

1+ x2 .

3. Étudier les variations de la fonction h de ]0 ; +∞[ dans R, définie par h(x) = xg ′(x).

En déduire le signe de g ′(x), puis de f ′(x) pour tout x > 0. 4. Rassembler les résultats de B et C pour donner l’allure de la courbe représen-

tative de f dans un repère orthonormé.

Toulouse 3 juin 1978

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