Mathématique - exercitation 17, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 17. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction réelle de variable réelle, les variations de f.
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f la fonction réelle de variable réelle qui, à x, associe

f (x)= ∣

∣e−2x −2e−x

1. Étudier les variations de f .

Étudier la continuité et la dérivabilité de f au point x0 =−Log2. Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé.

2. λ étant un réel supérieur ou égal à Log 2, calculer l’aire de l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant

{

−Log2 6 x 6 λ 0 6 y 6 f (x).

Soit A (λ) cette aire.

3. Déterminer la limite de A (λ) quand λ tend vers +∞ ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Une urne contient n+8 boules distinctes de trois couleurs : n boules bleues (n entier> 2) 5 boules rouges 3 boules vertes.

1. On tire deux boules de l’urne sans remise et on se place dans l’hypothèse de l’équiprobabilité.

Une règle du jeu a été établie de la façon suivante :

– on gagne quand on tire deux boules de la même couleur – on perd quand on tire deux boules de couleurs distinctes.

Calculer en fonction de n la probabilité pn de gain puis la probabilité qn de perte.

Calculer lim n→+∞

pn . Ce résultat était-il prévisible ?

2. On effectue maintenant une série de dix tirages de deux boules comme au 1. en remettant chaque fois les deux boules tirées dans l’urne.

Calculer en fonction de n la probabilité pn pour obtenir 9 fois et 9 fois seule- ment un tirage de deux boules de la même couleur.

Calculer lim n→+∞

pn . Ce résultat était-il prévisible ?

PROBLÈME 4 POINTS

On donne : P plan vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée

(

−→ ı ,

−→

)

D1, droite vectorielle de P de base (

−→ ı

)

D2, droite vectorielle de P de base (

−→

)

A l’ensemble des applications linéaires de P dans P qui laissent tout vecteur de D1 invariant et la droite vectorielle D2 globalement invariante.

Partie A

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

1. Montrer que toute application de A a une matrice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

qui

peut s’écrire sous la forme :

(

1 0 0 a

)

aveca paramètre deR− {0}.

On notera ϕa l’application linéaire de matrice

(

1 0 0 a

)

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

.

2. Donner l’image par ϕa de la droite vectorielle d’équation cartésienne dans la

base (

−→ ı ,

−→

)

:

αx+βy = 0avec (α ; β) 6= (0 ; 0)et (α ; β) ∈R2

En déduire que les seules droites laissées globalement invariantes parϕa avec a 6= 1 sont D1, et D2.

Partie B

On donne : P plan affine euclidien, associé à P , muni d’un repère orthonormé

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soient les points A (1 ; 0) ; B(−1 ; 0) ; C (0 ; 1) SoitBb l’ensemble des applications affines de P dans P qui laissent O et A invariants

et qui transforment C en C′ tel que −−→ OC = b

−−→ OC’ avec b paramètre fixe de R− {0 ; 1}.

1. Montrer que Bb ne contient qu’une seule application que l’on notera fb dont

on donnera l’expression analytique dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Caractériser cette application pour b = 1 ; puis pour b =−1.

2. m étant la projection orthogonale d’un point M quelconque de P sur la droite

(AB) ;M ′ étant l’image deM par fb calculer −−−−→ mM ′ en fonction de

−−−→ mM .

3. On désigne par Eb l’image par fb du cercleΩ de centre O de rayon OA.

Déterminer Eb pour |b| = 1. Déterminer Eb pour |b| 6= 1 ; préciser les éléments remarquables.

Partie C

Soit C l’ensemble des applications affines de P dans P conservant globalement le cercleΩ et conservant globalement la droite (AB).

1. Montrer que C est non vide et que toute application deC est bijective.

2. Montrer queC est la réunion de deux ensembles non vides notésCA et CB ,CA étant l’ensemble des applications de C pour lesquelles A est invariant et CB l’ensemble des applications deC pour lesquelles A est transformé en B.

En déduire que toute application deC laisse O invariant.

3. Soit F une application quelconque deC et u son endomorphisme associé.

Montrer que u transforme tout vecteur de norme 1 en un vecteur de norme 1.

En déduire que u conserve la norme de tout vecteur de P (c’est-à-dire

∀ −→ V ∈P ,

u (

−→ V

)∥

∥=

−→ V

∥).

Quelle est la nature de F ?

4. En déduire que C ne contient que quatre applications que l’on caractérisera,

Partie D

Soit Eb l’ensemble des applications affines de P dans P transformant le cercle Ω en Eb et qui laissent la droite (AB) globalement invariante.

Toulouse 2 septembre 1978

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

1. Montrer que l’application fb du B est une application de Eb .

2. Soitϕ une application de Eb , montrer que f −1 b

ϕ est une isométrie ponctuelle de P.

3. Démontrer que Eb ne contient que quatre applications affines que l’on déter- minera.

Toulouse 3 septembre 1978

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