Mathématique - exercitation 2, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les coordonnées, Résoudre les équations.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit E , un plan affine rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

= R.

Soit D la droite d’équation x+ y −1= 0, et ∆ la droite d’équation xy −1= 0. Soit M un point de coordonnées (x ; y) dans le repère R.

1. Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point M ′ image du point M dans la symétrie orthogonale s par rapport à la droite D.

2. Déterminer les coordonnées (

x′′ ; y ′′ )

du point M ′′ image du point M dans la symétrie orthogonale σ par rapport à la droite ∆.

3. Soit f =σs. Quelle est la nature de f ? Pouvait-on prévoir le résultat ?

EXERCICE 2 3 POINTS

1. Établir la table de multiplication dans Z/6Z.

2. Résoudre les équations :

a. x2 = 0 ;

b. x2 = x ;

c. 3̇x = 0̇.

x est élément de Z/6Z.

3. Résoudre le système dans Z/6Z×Z/6Z :

{

2̇x− 4̇y = 2̇ x+ 5̇y = 2̇

PROBLÈME 13 POINTS

Ondésigne par « a » un nombre réel de l’intervalle [0 ; π], et on considère la fonction numérique fa définie par

fa (x)= Log (

x2−2x cosa+1 )

.

On appelle (Ca) la représentation graphique de fa dans un plan affine euclidien

muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. Déterminer l’ensemble de définition de fa suivant les valeurs de « a ».

2. Trouver les limites, quand x tend vers +∞,de fa (x) et de la fonction : x 7−→ fa (x).

3. a. Montrer que (Ca) admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = cosa.

b. Montrer que (Ca) et (Cπa) sont symétriques par rapport à la droite (

O, −→

)

.

c. a et a′ étant deux réels distincts de l’intervalle [0 ; π], déterminer l’inter- section de (Ca) et de (Ca′).

4. a. Étudier les variations de f0 et tracer (C0).

b. En déduire (Cπ).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

5. a. Quand « a » est différent de 0 et de π, étudier les variations de fa .

b. Tracer ensuite (Ca) pour a = π

3 .

Partie B

Soit n appartenant àN⋆.

1. a. Résoudre dans C l’équation z2n −1= 0.

b. Soit zk le nombre complexe de module 1 et d’argument

n , où k appar-

tient à I = {0, 1, 2, . . . , 2n−1}.

k appartenant à I −{0, n},soit k ′ tel que k + k ′ = 2n ; à quel ensemble appartient alors k ′ ?

Montrer que le polynôme P (z)= (zzk ) (zzk ′) a des coefficients réels que l’on déterminera en fonction de k et n.

c. On admettra que :

z, z ∈C, z2n −1= (zz0) (zz1) , . . . , (zzk ) . . . (zz2n−1) .

En utilisant b. montrer que z2n −1 peut s’écrire sous la forme d’un pro- duit de polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à coefficients réels.

2. On considère Sn(x)= k=n−1

k=1 f kπ

n (x) où x est un réel et où

f kπ n (x)= Log

(

x2−2xcos kπ

n +1

)

.

a. Montrer que Sn est définie et continue sur R.

b. Déduire de B 1. c. que si x 6= 1 et x 6= −1, on a :

Sn (x)= Log x2n −1

x2−1 .

c. En déduire alors Sn(1) et Sn(−1).

3. x étant un réel fixé, différent de 1 et de −1, on considère la fonction gk telle que :

gx (t)= Log (

x2−2x cos t +1 )

pour t appartenant à [0 ; π].

a. Vérifier que gx est bien définie sur [0 ; π], et qu’elle est intégrable sur [0 ; π].

b. Comparer Sn(x) à une somme de Riemann de la fonction gx .

c. En déduire la valeur de l’intégrale

I (x)= ∫

π

0 Log

(

x2−2x cos t +1 )

dt .

Nice 2 septembre 1978

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