Mathématique - exercitation 3, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite arithmétique, La probabilité.
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[ Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On se propose de trouver une suite réelle u : N → R

n 7−→ un , vérifiant :

u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = −7un −8 2un +1

1. On suppose que u existe.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un 6= −2. b. Montrer que la suite v , définie sur N par 2 u + 1

vn = 2un +1 un +2

est une suite arithmétique. Calculer un en fonction de n. On note un = f (n).

2. Montrer que la suite (

f (n) )

n∈N vérifie les conditions imposées à u.

Conclure. Trouver la limite de la suite u.

3. Déterminer les valeurs de n dans N telles que un soit un entier relatif. (On pourra utiliser le résultat suivant : soit p et q deux entiers strictement positifs,

p

q entier ⇐⇒ pgcd(p, q)= q

EXERCICE 2 4 POINTS

Deux tireurs A et B visent une même cible. Soit l’univers Ω : Ω = {(+, +), (+, −), (−, +), (−, −)} où chaque élément de Ω est un couple de premier élément : + si A atteint la cible − sinon de deuxième élément : + si B atteint la cible − sinon La probabilité surΩ est définie par :

p(+, +)= 1

32 , p(+, −)=

7

32 , p(−, +)=

3

32 , p(−, −)=

21

32 .

1. Déterminer la probabilité pour que A atteigne la cible.

Déterminer la probabilité pour que B atteigne la cible.

2. Les deux événements « A atteint la cible » et « B atteint la cible » sont-ils indé- pendants ?

3. A tire 5 fois.

On admet que les cinq tirs sont indépendants entre eux. Quelle est la proba- bilité pour que A atteigne la cible trois fois exactement ?

PROBLÈME 13 POINTS

Dans tout le problème on considère le plan affine euclidien (P) orienté, rapporté à un repère orthonormé direct.

Partie A

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. a. On considère la fonction f

R → R x 7−→ f (x)= x

p 3+2

p x2+1.

Montrer que la courbe représentativeC admet deux asymptotes dont on déterminera les équations.

b. Étudier les variations de f et construire la courbe représentative C dans

le repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

de (P).

2. Soit C ′ la courbe représentant dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

la fonction g :

R → R x 7−→ g (x)= x

p 3−2

p x2+1.

Montrer que la courbeC ′ est l’image de la courbeC dans la symétrie par rap- port au point O.

3. Soit F le point de coordonnées (−1 ; p 3) (donc

−−→ OF =−

−→ ı +

p 3 −→ .) etD la droite

d’équation xy p 3+2= 0.

On appelle K la projection orthogonale sur D d’un point M(x ; y) quelconque du plan (P).

On appelle H l’ensemble des points M du plan (P) tels que MF2 = 2 MK2. a. Quelle est la nature de la conique H ?

b. Démontrer que la conique H admet pour équation cartésienne

y2−2 p 3xy

(

x2+4 )

= 0

c. Démontrer que H =C ∪C ′. Compléter le graphique de C pour obtenir H .

Partie B

Pour tout couple (α ; β) de nombres réels non nuls, on définit l’application affine ϕα, β du plan (P) dans lui-même, qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

défini par

{

x′ = αx+ (α−)β p 3y

y ′ = βy

On appelle G l’ensemble des applications ϕα, β, (α ; β) décrivant R ⋆×R⋆.

1. Montrer queG muni de la loi ◦ est un groupe. 2. Déterminer les applications ϕα, β deG qui sont des involutions.

3. On note ϕα, β(H ) l’ensemble des images par ϕα, β des points de H .

On se propose de déterminer l’ensemble G ′ des applications ϕα, β de G telles que ϕα, β(H )=H

a. Déterminer les couples (α ; β) tels que les images A′ et B′ des points A(−

p 3 ; 1) et B(0 ; 2) de H appartiennent à H .

b. Démontrer que pour les couples (α ; β) du a., ϕα, β(H )⊂H . Déduire du B 2. , que pour ces couples (α ; β)

ϕα, β(H )=H .

4. Caractériser géométriquement les quatre transformations trouvées auB3.Mon- trer que G ′ est un sous-groupe de (G, ◦) en dressant la table d’opérations de G ′ pour la loi ◦.

Orléans-Tours 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie C

On considère le point mobile M dont les coordonnées, en fonction du temps t (t

décrivant R) sont dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

:

x(t) = − 1

2

(

et −e−t )

y(t) = 2−

p 3

2 et +

2+ p 3

2 e−t

Pour t réel, exprimer et et e−t à l’aide de x(t) et y(t). Déterminer la trajectoire en mouvement.

Orléans-Tours 3 juin 1978

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