Mathématique - exercitation 4, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la somme, Étudier les variations de la fonction f , En déduire l’aire du domaine E du plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Orléans-Tours septembre 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Calculer la somme

Sk = 1+10 2 +104+·· ·+102k , k ∈N⋆.

2. Exprimer le nombre qui s’écrit en base 10, ababab, à l’aide du nombre ab et de puissances de 10.

3. En déduire la somme 29+2929+292929+·· · +2929...29 ︸ ︷︷ ︸

n fois29

.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction réelle de variable réelle, telle que :

x 7−→ f (x)= x2+ x+1

x2+1 .

1. Étudier les variations de la fonction f , et construire la courbe d’équation y =

f (x) dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer que cette courbe admet un centre de symétrie I, dont on précisera les coordonnées.

2. En déduire l’aire du domaine E du plan affine euclidien, ensemble des points M de coordonnées x et y , telles que :

06 x 6 1 et 16 y 6 f (x).

PROBLÈME 4 POINTS

On appelle E le plan vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormée ( −→ ı ,

−→

)

, et

P le plan affine euclidien, associé à E rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

L (E) étant l’ensemble des endomorphismes de E (applications linéaires de E dans E), on rappelle que :

L (E), muni de l’addition et de la loi externe, est un espace vectoriel sur R,

L (E), muni de l’addition et de la loi de composition des applications (notée ◦), est un anneau unitaire

et que, quels que soient le réel α et les endomorphismes f et g de E on a :

(α f )◦ g =α( f g )= f ◦ (αg ).

On notera e l’application identique de E dans E.

Partie A

Soit ϕ un endomorphisme de E tel que ϕ2 =−e ϕ2 =ϕϕ), c’est-à-dire tel que :

∀ −→ u ∈E, ϕ2

( −→ u

)

=−e −→ u =−

−→ u .

1. Montrer que

( a b

c d

)

est la matrice de ϕ dans la base ( −→ ı ,

−→

)

si et seulement

si : a+d = 0 et a2+bc =−1.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. Montrer que ϕ est une application bijective de E dans E. Exprimer l’applica- tion réciproque ϕ−1 de ϕ en fonction de ϕ.

3. Si −→ u est un vecteur non nul de E, montrer que

( −→ u , ; ϕ

( −→ u

))

est une base de E.

Quelle est la matrice de ϕ dans cette base ?

4. Exprimer en fonction de ϕ ou de e l’endomorphisme ϕn pour tout entier na- turel n. (On posera ϕ0 = e et ϕ1 =ϕ.

Déterminer les éléments de H = {

ϕn ;n ∈N }

.

Montrer que H est un groupe pour la loi ◦ de composition des applications, isomorphe au groupemultiplicatif

H ′ = {

in ;n ∈N, (i2 =−1) }

.

5. Soit Φ le sous·espace vectoriel de L (E) constitué par l’ensemble des combi- naisons linéaires des éléments e et ϕ ϕ est un endomorphisme donné tel que ϕ2 =−e.

a. Montrer que les endomorphismes e etϕ sont linéairement indépendants.

b. Soit h l’application linéaire de C dansΦ définie par

h(1)= e h(i)=ϕ

(1 ; i) étant la base canonique de C espace vectoriel des nombres com- plexes.

Montrer que h est bijective.

c. Montrer que Φ est stable pour la loi ◦, loi de composition des applica- tions.

d. En déduire que h est un homomorphisme de (C, ×) dans (Φ, ◦) et que (C, +, ×) et (Φ, +, ◦) sont deux corps isomorphes.

e. Déterminer les couples de nombres réels (α ; β) tels que (αe+βϕ)6 = e.

Partie B

Soit f : P → P M 7−→ M

l’application affine qui au point M de coordonnées x et y

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

associe le point M ′ (M ′ = f (M)) dont les coordonnées

dans le même repère sont

{ x′ = x−2y +2 y ′ = xy +1

1. Montrer que f est une application bijective dont l’endomorphisme associé ϕ est tel que ϕ2 =−e.

Montrer que f n’admet qu’un seul point invariant A dont on précisera les co- ordonnées.

2. Démontrer qu’il existe deux droites affines D passant par A telles que D soit perpendiculaire à son image f (D).

3. On prend M =M0 et on note Mn = f (Mn−1) pour tout entier naturel n supé- rieur ou égal à 1.

a. Montrer que l’ensemble des points Mn ainsi définis est réduit à quatre points siM0 6= A.

b. Montrer que les quatre points M0, M1, M2, M3 sont les sommets d’un parallélogramme dont on précisera le centre.

Orléans-Tours 2 septembre 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

c. Déterminer, en utilisant les résultats de la question B 2., l’ensemble des points M0 pour que ce parallélogramme soit un losange.

d. Ce parallélogramme peut-il être un carré ?

4. Soit (C ) la courbe qui, dans le repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

a pour équation

x2−2y2−2x+4y −3 = 0.

a. Préciser la nature de (C ), donner ses éléments caractéristiques et cons-

truire (C ) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

b. Déterminer l’équation de la courbe (C ′) = f ((C )). Préciser la nature de (C ′), donner ses éléments caractéristiques et la construire dans le même repère que (C ).

c. Les courbes (C ) et (C ′) ont les mêmes asymptotes ∆1 et ∆2. Déterminer l’image par f du couple ∆1 ; ∆2.

Orléans-Tours 3 septembre 1978

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