Mathématique - exercitation 5, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: résoudre l’équation, Montrer qu’il existe un unique point commun à toutes les courbes.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans l’anneau Z/91Z (dont les éléments sont notés 0̇, 1̇, 2̇, . . . , 9̇0),

1. discuter, suivant les valeurs du paramètre a ∈Z/91Z, l’équation

ax = 0̇,

2. résoudre l’équation

x2+ 2̇x − 3̇= 0̇.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé R d’axes Ox, Oy .

1. Discuter, suivant la valeur du paramètre réel λ, la nature de la courbedont l’équation dans le repère R est

λx2+ (1−λ)y2+λ2−λ= 0

2. Soit M0 un point quelconque du plan. Discuter, suivant la position de M0 le nombre et la nature des courbes passant par ce point ; dessiner les régions

trouvées.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit m un paramètre pouvant prendre toute valeur réelle. Pour chaque valeur de m,

on considère la fonction fm de R dans R définie par

fm (x)= 2(x m)

|x m|+m .

Partie A

1. Déterminer dans chacun des cas m > 0, m = 0, m < 0

a. l’ensemble Dm des points où fm est définie,

b. l’ensemble Cm des points où fm est continue,

c. l’ensemble Fm des points où fm est dérivable.

2. Soit Cm la courbe représentative de fm dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.

Quelles sont les asymptotes de Cm ?

La courbe Cm admet-elle un centre de symétrie ?

Dessiner C−1, C0, C1.

a. Montrer qu’il existe un unique point commun à toutes les courbes Cm correspondant aux m strictement positifs.

b. Montrer que, pour chaque m strictement positif, il existe une application affine transformant C1 en Cm et C−1 en Cm .

Partie B

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Dans toute cette partie, m est strictement positif.

1. a. Calculer l’intégrale

a

0

[

2− fm (x) ]

dx

a est un réel vérifiant 0< m 6 a.

b. En déduire que, a étant fixé, cette intégrale tend vers une limite lorsque m tend vers 0 par valeurs positives.

2. Soit un entier p > 2.

a. Montrer que, pour chaque m > 0

m

0

[

2− fm (x) ]p

dx 6 3p m.

sans chercher à calculer l’intégrale.

b. Calculer

a

m

[

2− fm (x) ]p

dx.

lorsque 0< m 6 a.

c. En déduire l’existence et la valeur de

lim m→0 m>0

a

0

[

2− fm (x) ]p

dx.

3. a. Montrer que, pour chaque x réel, fm (x) tend vers une limite finie λ(x) lorsque m tend vers 0 par valeurs positives ; comparer les fonctions λ et

f0.

b. Existe-t-il un réel m > 0 tel qu’on ait :

pour tout x > 0, 2− fm (x)< 1

10 .

c. Soit un réel ǫ > 0. Existe-t-il un réel α > 0 tel qu’on ait : pour tout m tel que 0< m <α, pour tout x > ǫ, 2− fm (x)< ǫ ?

d. En déduire une autre démonstration du résultat trouvé au B 2. c.

Paris 2 juin 1978

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