Mathématique - exercitation 6, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la racine de l’équation dans C, le plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Paris 1 septembre 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit M = {

1, j, j2 }

l’ensemble des trois racines cubiques de l’unité dans C. On donne deux nombres complexes a et b.

1. On considère l’ensemble E des nombres (λa +µb)3 obtenus quand (λ ; µ) dé- crit M2. Montrer que E contient au plus trois éléments.

2. Vérifier que z = (a +b)3 est racine de l’équation dans C

(z a3−b3)3−27a3b3z = 0.

3. Résoudre l’équation

(z −2−6i)3−432(1+ i)z = 0

en utilisant ce qui précède et en prenant

{

a3 = 2−2i b3 = 8i.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soit E l’ensemble des points du plan affine dont les coordonnées (x ; y) véri- fient y > x2.

A1 de coordonnées (a1 ; b1) et A2 de coordonnées (a2 ; b2) étant deux points de E, on considère le barycentre G de ces points affectés des coefficients λ et 1−λ avec 06λ6 1.

Calculer les coordonnées (X ; Y ) de G et montrer que G ∈ E.

2. a. Établir par récurrence sans nouveau calcul que, si n points A1, A2, · · · , An appartiennent à E, le barycentre de ces points affectés de coefficients égaux, non nuls appartient à E.

b. On considère le cas où les points A1, A2, · · · , An d’abscisses a1, a2, · · · , an sont sur la courbe d’équation y = x2.

Déduire de a. l’inégalité suivante :

(a1+a2+·· ·+an ) 2 6 n

(

a21+a 2 2+·· ·+a

2 n

)

.

PROBLÈME 12 POINTS

On désigne par I l’intervalle ]1 ; +∞[ de R, par e la base des logarithmes népériens : Log e = 1. Les courbes seront tracées dans un plan affine euclidien rapporté à un repère ortho- normé (unité : 1 cm).

Partie A

1. Etudier l’application ϕ de I dans R définie par

ϕ(x)= x

(Log x)2

Tracer sa courbe représentative.

1. Créteil, Versailles

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. a. Démontrer que l’équation dans I

ϕ(x)= e

admet deux solutions que l’on comparera à e, e2, e3, e4.

b. Résoudre dans I l’inéquation

ϕ(x)< x.

3. Démontrer que

lim x→+∞

Logϕ(x)

Log x = 1.

Partie B

1. On considère l’application F de I dans R définie par

F (x)= ∫x

0

1

Log t dt

(on ne cherchera pas à « calculer »cette intégrale).

Justifier l’existence de F . Étudier son serns de vatiation.

2. a. Démontrer que, pour t ∈ I

Log t < t −1.

b. En déduire :

lim x→+∞

F (x), lim x→1 x>1

F (x)

3. a. Montrer que, pour e6 a < b :

b a

Logb 6

b

a

1

Log t dt 6

b a

Log a .

b. En écrivant

x

e

1

Logt dt =

u

e

1

Logt dt +

x

u

1

Logt dt ,

montrer que, pour tout x > e et pour tout réel u tel que e6 u < x,

x u

Log x 6 F (x)6u+

x u

Logu (1)

c. Montrer que, si x > e4, on peut prendre dans les inégalités (1) u = ϕ(x) où ϕ est la fonction étudiée dans la partie A. De l’encadrement ainsi obtenu pour F (x), déduire l’existence et la valeur de

lim x→+∞

Log x

x F (x)

4. a. Donner une valeur approchée de F (2) en substituant à la fonction x 7−→ 1

Log x la fonction affine h telle que

h(2)= 1

Log2 et h(e)= 1.

Calculer par la même méthode une valeur approchée de F (3).

b. Préciser les branches infinies de la courbe représentative de F et tracer cette courbe.

Paris, Créteil, Versailles 2 septembre 1978

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