Mathématique - exercitation 7, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le paramètre complexe, l'application affine de P dans P.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère l’équation :

(i−1)z2−2i(m+1)z+ (1+ i) (

m2+1 )

= 0

dans laquelle z est l’inconnue, etm un paramètre complexe.

1. Résoudre cette équation dans le corps des nombres complexes. On désignera par z1 et z2 les racines, z2 étant la racine qui devient réelle quand on substitue 0 àm.

2. Établir une relation indépendante dem liant les racines z1 et z2. SoitM1 etM2 les images respectives de z1 et z2 dans un plan affine euclidien orienté muni

d’un repère orthonormé direct (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

. Montrer que M2 se déduit de M1 par une transformation que l’on caractérisera avec précision.

EXERCICE 2 3 POINTS

Si deux entiers naturels sont premiers entre eux, montrer qu’il en est de même de leur somme et de leur produit. En déduire l’ensemble des paires {a ; b} d’entiers naturels tels que

{

a+b = 96 PPCM(a ; b) = 180

PROBLÈME 14 POINTS

Dans une large mesure, les parties A et B sont indépendantes

Dans un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

on consi-

dère les points A, B, C de coordonnées respectives (a ; 0), (0 ; b) et (0 ; −ab), où a et b sont deux nombres réels non nuls.

Partie A

1. a. Montrer qu’il existe une application affine de P dans P et une seule, notée fa, b , telle que fa, b(A)=A, fa, b(B)=B et fa, b(O)=C.

b. Quelle est l’image par fa, b du barycentre M des points A et B affectés respectivement des coefficients λ et 1−λ ?

En déduire que tout point de la droite (AB) est invariant par fa, b .

c. SiM est unpoint de coordonnées (x ; y), et siM ′ , de coordonnées (

x′ ; y ′ )

, est son image par fa, b , montrer que

{

x′ = x

y ′ = bx+ (a+1)y ab

2. Calculer les coordonnées de fa, b fa, b(M).

Montrer qu’il existe une unique valeur a1 de a telle que fa, b soit une symétrie pour tout b 6= 0 ; caractériser cette symétrie.

3. On suppose dans cette question que a ∈R− {0 ; −1} et b ∈R− {0}.

a. Démontrer que l’application fa, b est bijective.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

b. On se donne un point M0 de coordonnées (

x0 : y0 )

n’appartenant pas à la droite (AB), et on pose M1 = fa, b (M0) ? Montrer que M1 est différent de M0 et que la droite (M0M1) coupe la droite (AB) en un point H dont on calculera les coordonnées en fonction de x0, a et b.

Calculer le nombre réel k tel que −−−−→ HM1 = k

−−−−→ HM0 et montrer qu’il est in-

dépendant deM0.

c. En partant du point M0 de la question précédente, on définit, par récur- rence,Mn = fa, b (Mn−1) pour tout n> 1.

Calculer les coordonnées Xn et Yn de −−−−→ HMn .

Quel est l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles la suite de terme général un = Y0+Y1+·· ·+Yn a une limite finie quand n augmente indé- finiment ?

Calculer alors cette limite en fonction de x0, y0, a et b.

Partie B

Dans cette seconde partie, on suppose a =−2. Soit hb l’application de R dans R définie par

hb (x)=−e 2x

+2ex + b

2 x.

On désigne par Cb la courbe représentative de hb dans le plan P rapporté au repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Démontrer que la courbeC b transformée deCb par f−2, b a pour équation

y = gb(x) avec gb(x)= e 2x

−2ex + b

2 x+2b.

2. Étudier les variations de g−3.

3. Dans ce cas particulier, représenter sur une même figure la droite (AB) et la courbeC

−3 ; on pourra prendre le centimètre pour unité de longueur.

4. Démontrer que la droite (AB) et la courbe C ′ −3 ont un seul point commun I

dont on calculera les coordonnées (α ; β). Montrer sans calculs, mais en utili- sant les résultats obtenus à la question A 3. b., que {I}=C−3∩C ′−3.

Calculer alors l’aire de l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles que

06 x 6α

et

g−3(x)6 y 6 h−3(x).

Poitiers 2 juin 1978

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