Mathématique - exercitation 8, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer l’égalité, Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f .
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[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soient a et b deux entiers premiers entre eux.

1. Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux ; en déduire que les nombres a+b et a2−ab+b2 sont premiers entre eux ou divisibles par 3.

2. Démontrer l’égalité :

P.G.C.D. (

a+b ; a2−ab+b2 )

= P.G.C.D.(a+b ; 3).

EXERCICE 2 3 POINTS

Dans un plan affine P muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère les points A et B

définis par −−→ OA = a2

−→ ı et

−−→ OB = a

−→ , où a est un nombre réel donné.

1. UnpointM de coordonnées x et y étant donné, discuter l’existence d’un point M ′ vérifiant

−−−→ M ′A +

−−−→ M ′B +a

−−−−→ M M = 0,

selon la valeur de a et la position deM .

2. Lorsqu’elle est définie, on appelle f l’application qui à un point M de P fait correspondre le pointM ′ deP défini par la relation de la question précédente.

Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f .

PROBLÈME 14 POINTS

Les parties A et B sont largement indépendantes.

Partie A

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B = (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

est

une base orthonormée directe. Pour tout nombre réelm, on considère l’application linéaire ϕm de E dans E définie par :

ϕm

(−→ ı )

= 1

3

[

m −→ ı + (m+1)

−→ +2

−→ k ]

ϕm( −→ ) =

1

3

[

−2 −→ ı m

−→ + (m+1)

−→ k ]

ϕm( −→ k ) =

1

3

[

(m+1) −→ ı −2

−→ +m

−→ k ]

.

1. a. Déterminer les coordonnées (

X ′ ; Y ′ ; Z ′ )

de l’image par ϕ d’un vecteur −→ u de coordonnées (X ; Y ; Z ).

b. Démontrer que les vecteurs ϕm (−→ ı )

,ϕm (−→

)

,ϕm (−→ k )

sont linéairement

indépendants pour toutm.

L’application ϕm est-elle bijective pour toutm ?

2. Montrer qu’il existe exactement deux valeursm1 etm2 (m2 <m1) dem telles queϕm1 etϕm2 soient des transformations orthogonales de E. Établir queϕm1 est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. On s’intéresse au cas où m = 1, et on pose ϕm = ϕm1 . Soit D l’ensemble des vecteurs invariants par ϕ, et P le plan vectoriel orthogonal à D. On considère les vecteurs :

−→ u =

p 2

2

(−→ ı

−→ k )

, −→ v =

−→ , et

−→ w =

p 2

2

(−→ ı +

−→ k )

.

a. Vérifier que −→ w appartient à D, et donner une équation cartésienne de P

relativement à B.

b. En considérant l’endomorphisme ψ de E défini par

ψ

(−→ ı )

= −→ u , ψ

(−→

)

= −→ v et ψ

(−→ k )

= −→ w ,

montrer que (−→ u ,

−→ v ,

−→ w

)

est une base orthonormée directe de E.

c. Dans toute la suite, on oriente D par −→ w et, par convention,

(−→ u ,

−→ v )

est

une base orthonormée directe de P.

On désigne par ϕ′ la restriction de ϕ à P. Si α est une mesure de l’angle de ϕ (ou de ϕ′) dans P ainsi orienté, déterminer cosα et sinα.

Partie B

On désigne par P un plan affine euclidien de direction P rapporté au repère ortho-

normé direct R = (

O, −→ u ,

−→ v )

(le point O appartient à P ).

Soit f l’application de P dans lui-même, qui, au point M de coordonnées (x ; y), fait correspondre le point M ′ de coordonnées

x′ = − 1

3 x

2 p 3

3 y

y ′ = 2 p 3

3 x

1

3 y

1. Déterminer la nature de f et en déduire l’existence et la définition analytique de son application réciproque.

2. a. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par

g (x)= 7 p 2

8

(

x2+1

x

)

.

Étudier les variations de g , et tracer sa courbe représentative C dans le plan P rapporté à R.

b. Montrer que la courbeC ′ image deC par f a pour équation cartésienne

x2−8y2−7= 0.

3. On considère un point mobile N de P dont les coordonnées à l’instant t (t décrivant R) sont données par :

{

x = x(t) = 4et +e−t

y = y(t) = 2et − 1

2 e−t .

a. À quels instants t le point N est-il sur C ′ ?

Poitiers 2 septembre 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

b. Vérifier que le support Γ de la trajectoire T de N a pour équation carté- sienne

x2−4y2−16= 0.

IdentifierΓ (nature, centre, sommets, axes de symétrie, asymptotes éven- tuelles).

Tracer Γ et préciser T (on démontrera que x(t) et y(t) décrivent respec- tivement [4 ; +∞[ et R, lorsque t décrit R).

c. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération de N à l’instant t , et en déduire l’ensemble des valeurs de t pour lesquelles le mouvement est accéléré.

Poitiers 3 septembre 1978

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