Mathématique - exercitation 9, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace linéaire p de P, l'espace vectoriel euclidien de base.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit l’espace linéaire p de P, espace vectoriel réel, dans lui-même de matrice A rela-

tivement à la base (

−→ ı ,

−→

)

donnée par : 

f (

−→ ı )

= a −→ ı +d

−→

f (

−→

)

= b −→ ı +c

−→

a, b, c, d sont quatre nombres entiers strictement positifs. Sachant que a, b, c, d sont dans cet ordre des termes consécutifs d’une suite géomé- trique de raison q, q étant strictement supérieur à 1 et premier avec a, déterminer la matrice A pour que son déterminant soit égal à : −9a3.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit V un espace vectoriel euclidien de base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

orthonormée et E un espace

affine associé à Vmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère f l’application affine de E dans E définie par :

x′ = − 1

3 x

2

3 y +

2

3 z+1

y ′ = 2

3 x

1

3 y +

2

3 z−1

z ′ = 2

3 x+

2

3 y

1

3 z−1

1. Montrer que l’endomorphisme ϕ de V associé à f conserve la norme.

2. Montrer que ϕ est involutif et caractériser ϕ.

3. Déterminer l’ensemble des points invariants par f et préciser si f est involu- tive.

4. Soit s l’application affine d’endomorphisme associé ϕ et telle que s(O)=O.

a. Caractériser s.

b. Préciser l’endomorphisme associé à f s , en déduire la nature de t = f s et montrer que f est la composée de deux applications que l’on précisera.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On considère la fonction ϕ de R+ dans R, définie par :

ϕ(x)= x

1+ x −Log (1+ x)

(où Log est le logarithme népérien).

1. Montrer que ϕ est une fonction décroissante sur R+ ,dont on donnera l’image ϕ (R+). En déduire le signe de ϕ(x), pour tout x> 0.

2. Étudier la branche infinie (on utilisera l’égalité 1+ x = x

(

1

x +1

)

pour x > 0)

et tracer la courbe représentative (C ), dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité choisie : 2 cm).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie B

Onconsidèremaintenant que (P) est unplan affine euclidien et que le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est orthonormé. Soit le mouvement d’un point M de (P) dont les coordonnées sont données par

{

x = t −1

y = 1− 1

t −Log t avec t > 1.

t désignant le temps.

1. Trouver la trajectoire (C ′) du point M (on précisera le sens de parcours).

2. Déterminer (H) = {m ∈ (P)| −−→ Om =

−−−→ V(t) },

−−−→ V(t) désignant levecteur-vitesse

deM à l’instant t .

3. Déterminer dans quels intervalles de temps le mouvement est accéléré, re- tardé.

Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

les vecteurs-vitesse et accélération à la date t = 1.

Partie C

On considère maintenant la fonction f définie sur R et à valeurs dans R, définie par

f (x)= e−xLog (

1+ex )

.

Soit (C ′′) la courbe représentative dans le repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Démontrer que : ∀x ∈R f (x)> 0. Que peut-on dire alors de (C ′′) ?

2. Montrer que f ′(x) a le même signe que ϕ (ex ). En déduire le sens de variation de la fonction f .

3. Exprimer f (x) en fonction de u = ex . En déduire la limite de f lorsque x tend vers −∞ ?

4. En utilisant l’égalité 1+ex = ex (e−x +1), trouver la limite de f lorsque x tend vers +∞.

5. Tracer (C") dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 2 cm).

On donne Log 3,72≈ 1,31 et Log 8,39 ≈ 2,12.

6. Soit l’intégrale F (a)= ∫a

0 f (x)dx.

a. Montrer qu’il existe des réels b et c tels que

x ∈R, ex

1+ex = b+

c

1+ex .

Au moyen d’une intégration par parties, ramener le calcul de F (a) au

calcul de l’intégrale ∫a

0

ex

1+ex dx.

En déduire F (a).

b. a > 0. Que représente F (a) ? Étudier l’existence et donner s’il y a lieu, la valeur de lim

a→+∞ F (a).

c. a < 0. Que représente F (a)−a ? Étudier l’existence et donner s’il y a lieu, la valeur de lim

a→−∞ (F (a)−a).

Partie D

Polynésie 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

On considère les fonctions f de R dans R qui vérifient la relation

(1) ∀x ∈R, f ′(x)+ f (x)= 1

1+ex .

1. Montrer que la fonction f définie au C vérifie (1) .

2. On considère les fonctions f vérifiant (1) de la forme f (x)= e−xg (x). Trouver la relation (2) vérifiée par les fonctions g . Quelle est l’expression des fonctions g ?

3. En déduire l’ensemble des fonctions f vérifiant (1).

Polynésie 3 juin 1978

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