Notes sur l'action de Nambu-Goto - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur l'action de Nambu-Goto - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur l'action de Nambu-Goto - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'action de Nambu-Goto condensée, l'équation.
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Remarque: Cela est similaire à la physique du point où dans l'action nous retrouvons la masse au

repos (équivalent de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière (cf. chapitre de

Relativité Restreinte).

Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant :

(52.58)

Remarque: Nous démontrerons pourquoi nous avons posé un facteur "-" plus loin. Cependant,

une petite analogie avec l'action d'une particule ponctuelle, pour lequel nous avons aussi un signe

"-" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), peut facilement déjà se faire.

Maintenant, au même titre que nous avions défini plus haut la métrique induite d'une surface

purement spatiale,

Dès lors :

(52.59)

ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle :

(52.60)

en utilisant le déterminant de cette matrice :

(52.61)

nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée

suivante :

(52.62)

qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.

Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons

pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination au début de

chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde.

Ainsi, nous récrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne tel

que :

(52.63)

où est donc définie par :

(52.64)

Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation

de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à

celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions

obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action :

et (52.65)

et que l'application du principe variationnel nous avait donné :

(52.66)

Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation

pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne :

(52.67)

Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des

développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme

différente) :

(52.68)

et comme nous l'avons faite au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous

allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si

vous préférez) de la corde en optant pour la notation :

(52.69)

où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le

souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) les moments longitudinaux et

transverses :

(52.70)

en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire :

(52.71)

Faisant usage des mêmes méthodes que celles vue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire,

notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

(52.72)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes

qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde

d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique donnée par :

(52.73)

Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermé (car

finalement dans les développements précédents à aucun moments nous n'avions contraints les

termes à êtres ouverts ou fermés).

Cette équation est horriblement difficile à résoudre mais le choix d'une paramétrisation

adéquate peut néanmoins simplifier la tâche

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