Notes sur l'algébre et la géométrie corporelle, Notes de Algèbre linéaire
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'algébre et la géométrie corporelle, Notes de Algèbre linéaire

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Notes de mathématique sur l'algébre et la géométrie corporelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les symétries des figures géométriques,, Les groupes cycliques.
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Algébre et géométrie corporelle

Les symétries des figures géométriques, des cristaux et de tous les autres objets de la physique

macroscopique font l'objet depuis des siècles d'observations et d'études. En termes modernes, les

symétries d'un objet donné forment un groupe.

Depuis le milieu du 19ème siècle, la théorie des groupes a pris une extension énorme, et ses

applications à la mécanique quantique et à la théorie des particules élémentaires se sont

développées tout au long du 20ème siècle.

Dans une lettre de 1877 au mathématicien Adolph Mayer, Sophus Lie écrit qu'il a crée la théorie

des groupes en janvier 1873. Il s'agit bien sûr des groupes qu'il appelait "groupes continus" et qui

sont appelés aujourd'hui "groupes de Lie". Lie cherchait à étendre l'usage des groupes du domaine

des équations algébriques, où Galois les avait introduits, à celui des équations différentielles.

Dès 1871, la notion de générateur infinitésimal d'un groupe à un paramètre de transformations

était apparue dans son oeuvre. C'est l'ensemble des générateurs infinitésimaux des sous-groupes

à un paramètre d'un groupe continu qui forme ce que nous appelons aujourd'hui une algèbre de

Lie.

Ce furent Wigner et Weyl qui montrèrent le rôle prééminent de la théorie des groupes, et de leurs

représentations en particulier, dans la nouvelle mécanique quantique que développaient

Heisenberg et Dirac. L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un

groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire : nous essayons ainsi de voir

le groupe comme un groupe de matrices (d'où le terme "représentation"). Nous pouvons ainsi, à

partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace

vectoriel (cf. chapitre de Théorie des Ensembles), arriver à déduire quelques propriétés du groupe

qui nous intéressait.

Nous pouvons considérer la théorie des représentations de groupes comme une vaste

généralisation de l'analyse de Fourier. Son développement est continu et elle a, depuis le milieu du

20ème siècle, des application innombrables en géométrie différentielle, en théorie ergodique, en

théorie des probabilités, en théorie des nombres, dans la théorie des formes automorphes, dans

celle des systèmes dynamiques ainsi qu'en physique, chimie, biologie moléculaire et traitement du

signal. À l'heure actuelle, des branches entières des mathématiques et de la physique en

dépendent.

Avant de commencer, nous renvoyons le lecteur au chapitre traitant de la Théorie Des Ensembles

pour qu'il se rappelle de la structure et des propriétés fondamentales qui constituent le groupe et

également au chapitre d'Algèbre Linéaire (car nous en utiliseront quelques résultats).

GROUPES CYCLIQUES

Le groupe cyclique (dont la définition a déjà été vue dans le chapitre de Théorie des Ensembles) va

nous servir de base dans le cadre de l'étude des groupes finis. Par ailleurs, plutôt que de faire des

développements généralisés nous avons préféré prendre des exemples particuliers afin de

présenter l'idée de groupe cyclique (approche plus adaptée à l'ingénieur).

Nous allons donc prendre l'exemple fort sympathique des heures de la montre... avec trois

approches différentes qui successivement (!) permettront d'aborder un groupe cyclique simple.

- Première approche :

Imaginons donc une horloge avec une aiguille qui peut prendre 12 positions possibles (mais pas

de positions intermédiaires). Nous noterons de manière spéciale les 12 positions

possibles: (le trait au-dessus des nombres n'est pas innocent!).

Rien ne nous empêche sur l'ensemble de ces positions de définir une addition, par exemple :

(9.1)

ce qui est similaire aux résultats que nous obtenons lorsque dans notre quotidien nous faisons

des calculs avec notre montre.

- Deuxième approche (première extension)

Si nous observons bien notre montre, nous remarquons qu'à chaque fois que nous rajoutons 12

(ou retirons...) à une valeur des heures de notre montre alors nous tombons sur un ensemble de

nombres bien déterminé qui sont aussi dans . Ainsi (évidemment dans le cadre d'une montre

seules les premières valeurs positives nous intéressent la plupart du temps mais ici nous faisons

des maths alors nous généralisons un peu...) :

(9.2)

Nous retrouvons ici un concept que nous avions déjà vu dans le chapitre de Théorie Des Nombres.

Il s'agit de classes de congruences et l'ensemble des ces classes forment l'ensemble

quotient . Si nous munissons cet ensemble quotient d'une loi d'addition, il est

normalement facile d'observer que celle-ci est un interne à l'ensemble quotient, qu'elle est

associative, qu'il existe un élément neutre et chaque élément possède un symétrique (inverse).

Ainsi, cet ensemble quotient muni de uniquement de la loi d'addition (sinon en ajoutant la

multiplication nous pouvons former un anneau) est un groupe commutatif.

- Troisième approche (deuxième et dernière extension) :

Voyons une troisième et dernière approche qui explique pourquoi le groupe quotient est cyclique.

Si nous projetons la rotation des aiguilles de notre montre dans et que nous définissons :

(9.3)

Nous avons alors et :

(9.4)

ce qui explique pourquoi le groupe quotient est appelé "groupe cyclique" (par

isomorphisme de groupe selon ce qui a été vu en théorie des ensembles). Son isomorphe est

noté .

Si nous représentons dans l'ensemble isomorphe nous obtenons alors sur le cercle unité

un polygone ayant n sommets comme le montre la figure ci-dessous :

(9.5)

Par ailleurs, le nombre d'éléments composants étant fini, est fini.

Contrairement au groupe qui est lui un groupe discret infini.

Ce concept de finitude sera peut-être plus évident avec l'exemple que nous ferons de suite après

avec où le lecteur observera que cet ensemble a le même nombre d'éléments que .

Remarque: Les mathématiciens appellent le "groupe des racines n-èmes de l'unité". Une

racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre de De Moivre") est donc un nombre complexe

dont la puissance n-ème vaut 1. Par ailleurs, pour un entier n donné, toutes les racines n-ème de

l'unité sont situées sur le cercle unité et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés ayant un

sommet d'affixe 1.

Ce qui intéresse les physiciens particulièrement dans un premier temps ce sont les représentations

des groupes finis (aussi les groupes continus que nous verrons plus loin). Ainsi, la représentative

de nous est connue puisque la rotation dans le plan complexe est donnée comme nous l'a

montrée notre étude des complexes dans le chapitre sur les Nombres :

(9.6)

avec . Cette représentatives est un sous-groupe du groupe des rotations O(2) sur

lesquelles nous reviendrons plus loin. Le groupe des rotations du plan étant lui-même un sous-

groupe du groupe linéaire GL(2) (nous en donnerons une définition précise et un exemple plus

loin).

Au fait, les mathématiciens sont capables de démontrer que tous les groupes

quotients sont cycliques à isomorphisme près avec . Les mathématiciens disent aussi

que est un quotient fini du group monogène .

Cette approche est par contre peut-être un peu abstraite. Alors, si le lecteur se rappelle du

chapitre de Théorie Des Ensembles nous avons vu une définition bien précise de ce qu'était la

cyclicité d'un groupe : Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par la puissance d'au moins

un de ses éléments appelé générateur tel que:

(9.7)

Vérifions que ce soit bien le cas pour le groupe :

(9.8)

qui constitue un cas scolaire.

Nous noterons les éléments qui constituent ce groupe:

(9.9)

Ceci étant fait, il convient de faire attention que dans la définition ensembliste du groupe cyclique

nous parlons de "puissance" si la loi interne du groupe est la multiplication mais si la loi interne

est l'addition, nous avons alors :

(9.10)

Le premier élément générateur du groupe :

(9.11)

est l'élément 1. Effectivement :

(9.12)

Le deuxième élément générateur du même groupe est 3 :

(9.13)

Par contre, le lecteur pourra vérifier que 2 n'est pas générateur de ce groupe!

Au fait, en ce qui concerne les groupes les mathématiciens arrivent à démontrer

que seules les éléments du groupe qui sont premiers avec n sont générateurs (c'est-à-dire les

éléments dont le plus grand commun diviseur est 1).

Voilà pour notre introduction aux groupes cycliques. Passons maintenant à une autre catégorie

des groupes.

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