Notes sur l'algèbre linéaire, Notes de Algèbre linéaire
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'algèbre linéaire, Notes de Algèbre linéaire

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Notes de mathématique sur l'algèbre linéaire. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le "système linéaire", le problème d'intersection de droites: sous forme d'équation et sous forme de système. définitions, Le...
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L'Algèbre Linéaire

l y a plusieurs manières d'aborder l'algèbre linéaire. D'abord une manière pragmatique (nous

commencerons par celle-ci car notre expérience nous a montré que c'est celle qui semblait le

mieux marcher chez les étudiants) et une manière plus formelle que nous présenterons aussi

après la première.

Ainsi, rappelons que nous avions étudié dans le chapitre de calcul algébrique comment

déterminer l'intersection (si elle existe) de l'équation de deux droites (nous pouvons étendre le

problème bien évidemment à plus de deux droites) dans données par :

et (13.1)

où .

En cherchant donc la valeur de pour laquelle :

(13.2)

Ainsi nous pouvions écrire :

(13.3)

Cependant, il existe une autre manière de présenter le problème comme nous l'avons vu en

méthodes numériques (section d'informatique théorique). Effectivement, nous pouvons écrire le

problème sous la forme d'un bloc d'équations :

(13.4)

et comme nous cherchons , nous avons :

(13.5)

Cette écriture s'appelle comme nous l'avons présenté dans le chapitre de Méthodes Numériques

(section d'Informatique Théorique) un "système linéaire" que nous pouvons résoudre en

soustrayant ou en additionnant les lignes entre elles (l'ensemble des solutions étant toujours

égal), ce qui nous donne :

(13.6)

et nous voyons que nous retombons sur la solution :

(13.7)

il y donc deux manière de présenter un problème d'intersection de droites :

1. Sous forme d'équation

2. Sous forme de système

Nous allons nous intéresser dans une partie ce chapitre à la deuxième méthode qui nous

permettre à l'aide des outils vus dans le chapitre de calcul vectoriel de résoudre les intersection

non plus d'une ou plusieurs droites mais d'une ou plusieurs droits, plans, hyperplans dans

respectivement .

Il y a cependant une condition à remplir : comme nous l'avons vu dans l'exemple précédent,

nous ne pourrions pas résoudre un système d'équations à deux inconnues si nous n'avons

qu'une seule équation. C'est la raison pour laquelle il faut et il suffit pour un système

d'équation à n inconnues avoir au moins n équations. Ainsi, nous parlons de : "systèmes

de n équations à n inconnues" et comme nous le verrons plus loin, ceci implique trivialement

d'avoir une matrice carrée (le concept de "matrice" sera défini un peu plus loin). Nous

démontrerons aussi que pour un tel système ait des solutions non toutes nulles, il faut que

nous ayons un déterminant de la matrice qui soit non nul (le concept de "déterminant" sera

défini plus loin) et donc que la matrice soit inversible.

SYSTÈMES LINÉAIRES Définition: Nous appelons donc "système linéaire", ou simplement "système", toute famille

d'équations de la forme :

(13.8)

où chaque ligne représente l'équation d'une droite, plan ou hyperplan (cf. chapitre de

Géométrie Analytique) et les "coefficients du système", les "coefficients du second

membre" et les les "inconnues du système".

Si les coefficients du second membre sont tous nuls, nous disons alors que le système est un

"système homogène" et alors celui-ci admet au moins la solution triviale où les sont tous

nuls.

Nous appelons "système homogène associé au système", le système d'équations que nous

obtenons en substituant des zéros aux coefficients du second membre.

Rappelons les élément suivants :

- L'équation d'une droite (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) est donnée par :

(13.9)

en posant .

- L'équation d'un plan (cf. chapitre de Géométrie Analytique) est donnée par :

(13.10)

en posant .

- L'équation d'un hyperplan est très facilement (si vous ne voyez pas comment faites le nous

savoir nous le préciseront) généralisable à partir de la démonstration de celle du plan et nous

obtenons ainsi :

(13.11)

en posant

Nous écrivons souvent un système linéaire sous la forme condensée suivante :

(13.12)

Nous appelons "solution du système" tout n-uplet tel que :

(13.13)

Résoudre un système signifie trouver l'ensemble des solutions de ce système. Deux systèmes

à n inconnues sont dits "systèmes équivalents" si toute solution de l'un est solution de l'autre,

autrement dit, s'ils admettent le même ensemble de solutions. Nous disons parfois que les

équations d'un système sont des "équations compatibles" ou "équations incompatibles", suivant

que ce système admet au moins une solution ou n'en admet aucune.

Nous pouvons également donner bien sûr une interprétation géométrique à ces systèmes.

Supposons que les premiers membres des équations du système soient non nuls. Alors, nous

savons que chacune de ces équations représente un hyperplan d'un espace affine (voir le

chapitre de calcul vectoriel) de dimension n. Par conséquent, l'ensemble des solutions du

système, regardé comme ensemble de n-uplets de coordonnées, représente une intersection

finie d'hyperplans.

Exemple:

Le système d'équations suivant:

(13.14)

noté plus conventionellement dans les petites classes sous la forme:

(13.15)

Aurait comme solutions les points représentat l'intersection des trois plans définis par les trois

équations. Mais comme nous pouvons le voir visuellement avec Maple à l'aide des commandes

suivantes:

>with(plots);

>implicitplot3d({x-3*z=-3,2*x-5*y-z=-2,x+2*y-5*z=1},x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3);

(13.16)

ce système n'a aucune solution. Ce qui peut soit se vérifier à la main, soit avec Maple en

écrivant:

>solve({x-3*z=-3,2*x-5*y-z=-2,x+2*y-5*z=1},{x,y,z});

Remarque: Pour la méthode de résolution "classique" de ces systèmes, nous renvoyons le lecteur

au chapitre traitant des méthodes numériques dans la section d'informatique.

C'était donc la manière pragmatique de voir les choses... passons maintenant à la seconde

façon un peu plus ... mathématique (mais qui reste très simple) :

TRANSFORMATIONS LINÉAIRES Définition: Une "transformation linéaire" ou "application linéaire" A est une application d'un

espace vectoriel Evers un espace vectoriel F telle que avec K étant ou :

(13.17)

plus fréquemment donné sous la forme (car l'application linéaire est souvent assimilée à une

matrice):

(13.18)

ceci constitue, pour rappel, un endomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

La première propriété spécifie que la transformée d'une somme de vecteurs doit être égale à la

somme des transformées, pour qu'elle soit linéaire. La deuxième propriété précise que la

transformée d'un vecteur auquel nous avons appliqué un facteur d'échelle (homothétie) doit

aussi être égale à ce facteur appliqué sur la transformée du vecteur original. Si l'une ou l'autre

de ces deux propriétés n'est pas respectée, la transformation n'est alors pas linéaire.

Nous allons maintenant montrer que toute transformation linéaire peut être représentée par

une matrice:

Soient les vecteurs de base pour E et ceux de F. Avec ces bases,

nous pouvons représenter n'importe quels vecteurs avec les combinaisons

linéaires suivantes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(13.19)

Soit la transformation linéaire A qui applique E sur F ( ). Donc que nous

pouvons réécrire de la façon suivante :

(13.20)

mais puisque A est un opérateur linéaire par définition, nous pouvons aussi écrire :

(13.21)

En considérant maintenant que les vecteurs sont des éléments de F, nous pouvons les

réécrire en tant qu'une combinaison linéaire de ses vecteurs de base :

(13.22)

Ainsi, nous obtenons :

(13.23)

En inversant l'ordre des sommations, nous pouvons écrire :

(13.24)

et en réarrangeant cette dernière relation, nous produisons le résultat :

(13.25)

Finalement, en se rappelant que les vecteurs de base doivent être indépendants, nous

pouvons conclure que leurs coefficients doivent forcément être nuls, donc :

(13.26)

Ce qui correspond au produit de "matrice" :

(13.27)

que nous pouvons noter :

(13.28)

Autrement dit, toute transformation linéaire peut être décrite par une matrice A qu'il s'agit de

multiplier avec le vecteur que nous voulons transformer, pour obtenir le vecteur résultant de la

transformation.

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