Notes sur l'algèbre quantique - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

Télécharge Notes sur l'algèbre quantique - 1° partie et plus Notes au format PDF de Principes fondamentaux de physique sur Docsity uniquement! ALGÈBRE QUANTIQUE Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils " mathématiques qui vont nous êtres très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui va suivre! Remarque: Les puristes risquent de grimper aux rideaux en lisant ... OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrit encore plus brièvement . Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante : (42.43) Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en physique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs. Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à- dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un opérateur sur fet écrire cela symboliquement comme un produit simple : (42.44) Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: se uls nous intéressent les opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire par exemples tels que: (42.45) quels que soient les coefficients 1 et 2. Une catégorie très simple d' opérateurs est constituée par les nombres (scalaires réels ou complexes). En effet, étant un nombre (typiquement l'opérature de position en physique quantique): (42.46) dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deux cas particuliers importants: 1. Opérateur zéro: où sera une fonction bien évidemment nulle partout... 2. Opérateur unité (ou identité): où (ce qui est tout aussi simple...) Remarque: L'opérateur "Nabla" est également un opérateur linéaire fonctionnel (nous le verrons un peu plus loin) qui en physique quantique se retrouver dans l'opérateur d'énergie. Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifs par rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif par rapport à l'addition à gauche et à droite (voir les chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin). Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul d'opérateurs: 1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et : (42.47) Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupe qui est non-commutatif)! Exemple: Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) : (42.48) en simplifiant par f : (42.49) Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque: Remarque: La lecture des lignes qui vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite. Cependant, si vous ne comprenez pas grand chose ce n'est pas bien grave car souvent tout devient évident pendant l'étude et les développements d'exemples concrets qui seront donnés plus loin. Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) sans chercher à comprendre leur utilité pour l'instant: et (42.60) où rappelons que la notation est le conjugué complexe de z. Il faut savoir que dans ces deux intégrales, et représentent des opérateurs. Nous constatons dans les développement de la physique quantique qu'il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que est "l'adjoint" de (la transposée de la conjuguée) ou qu'il est "hermitique" et nous écrivons : (42.61) si les deux intégrales précédentes sont respectées. De cette définition, nous déduisons l'identité suivante : (42.62) Remarque: Nous démontrerons, plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concret mais particulier de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous y reviendrons de manière plus rigoureuse dans notre présentation du formalisme de Dirac dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste. L'opérateur adjoint a plusieurs propriétés, dont les seules qui vont nous intéresser dans ce chapitre sont: P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de l'opérateur adjoint. P2. étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors . Ce que nous avons vérifié juste avant par l'exemple avec l'opérateur de quantité de mouvement! Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est donc constituée par les "opérateurs hermitiques self-adjoints", ou plus simplement "opérateur hermitiques" égaux par définition à leurs adjoints : (42.63) puisque ce sont les seules qui émergent dans les développements de la physique quantique ondulatoire. Nous remarquons aussi que si nous prenons un opérateur hermitique (comme celui de la quantité de mouvement pour faire simple par exemple...) et que nous multiplions celui par le nombre imaginaire unitaire pur i alors il devient anti-hermitique, c'est-à-dire: nom-hermitique. Remarque: Le terme "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents et rappelez-vous que ces opérateurs peuvent être aussi des matrices! Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties hermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire: (42.64) où sont donc hermitiques . Démonstration: Si : (42.65) car il s'agit d'un simple nombre complexe, alors: (42.66) La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique (la somme ou la soustractions entre opérateurs hermitiques, reste donc hermitique). En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques n'est pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit). COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS Définitions: D1. Le "commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit : (42.67) D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit : (42.68) Remarques: R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent dans les développements que l'anti- commutateur, s'il n'y a pas de confusion possible, nous le notons donc simplement . R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs dans le cadre de notre étude la physique quantique ondulatoire seront présentés dans le texte qui suit. Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliserons le plus): (42.69) où sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques). Cherchons l'adjoint de : (42.70) d'où un résultat très simple: (42.71) ce qui pourra se vérifier aisément avec l'exemple pratique que nous ferons juste quelques lignes en-dessous. La relation suivante est très utile dans la pratique (triviale, mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration): (42.72) nous avons de même: