Notes sur l'algèbre quantique - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur l'algèbre quantique - 1° partie, Notes de Concepts de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur l'algèbre quantique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les opérateurs linéaires fonctionnels, la relations d'anti-commutation.
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ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous

souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils " mathématiques qui vont nous êtres très

utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première

importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui

va suivre!

Remarque: Les puristes risquent de grimper aux rideaux en lisant ...

OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions

ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'une

seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrit

encore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues

à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous

adopterons la notation suivante :

(42.43)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en

physique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs.

Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-

dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un

opérateur sur fet écrire cela symboliquement comme un produit simple :

(42.44)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: se uls nous intéressent les

opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire par exemples tels que:

(42.45)

quels que soient les coefficients 1 et 2.

Une catégorie très simple d' opérateurs est constituée par les nombres (scalaires réels ou

complexes). En effet, étant un nombre (typiquement l'opérature de position en physique

quantique):

(42.46)

dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deux cas

particuliers importants:

1. Opérateur zéro: où sera une fonction bien évidemment nulle partout...

2. Opérateur unité (ou identité): où (ce qui est tout aussi simple...)

Remarque: L'opérateur "Nabla" est également un opérateur linéaire fonctionnel (nous le verrons

un peu plus loin) qui en physique quantique se retrouver dans l'opérateur d'énergie.

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifs

par rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif par

rapport à l'addition à gauche et à droite (voir les chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre

Linéaire au besoin).

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a

cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs

quand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en

algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et :

(42.47)

Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit

d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupe qui

est non-commutatif)!

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous

verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule

variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) :

(42.48)

en simplifiant par f :

(42.49)

Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

(42.50)

Remarques:

R1. Si un opérateur peut commuter n'importe comment avec un autre opérateur, c'est que ce

dernier est un nombre (cela rejoint le concept de mesure dont nous avons fait mention dans les

postulats).

R2. Lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel) est inchangé par un opérateur,

l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système (nous verrons des exemples

pratiques plus loin). L'état est alors parfaitement mesurable et est assimilé à l'observable

classique.

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle (que nous démontrerons plus loin) à

admettre pour l'instant :

(42.51)

ou bien écrit autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien :

(42.52)

ou encore:

(42.53)

autrement encore...:

(42.54)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme :

(42.55)

ou en notation lagrangienne :

(42.56)

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement la deuxième expression donnée dans le deuxième

postulat mais la notation V pour l'énergie potentielle peut porter à confusion avec le potentiel

électrique.

D'autre part, nous savons que :

(42.57)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire à ces

égalités est de poser :

(42.58)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en mécanique quantique et

dont il faudra se rappeler tout au long de ce chapitre!

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement un des opérateurs cités dans le troisième postulat.

Nous pouvons vérifier la justesse de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression de

l'énergie cinétique :

(42.59)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons le conjugué

complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement.

Ainsi, l'opérateur d'énergie totale (l'hamiltonien) est lui aussi bien hermitique! Ce résultat est

très important pour vérifier par exemple des calculs en utilisant la propriété d'orthogonalité des

fonctions propres que nous verrons plus loin.

OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Remarque: La lecture des lignes qui vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite. Cependant, si

vous ne comprenez pas grand chose ce n'est pas bien grave car souvent tout devient évident

pendant l'étude et les développements d'exemples concrets qui seront donnés plus loin.

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit

d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) sans chercher à comprendre leur utilité pour

l'instant:

et (42.60)

où rappelons que la notation est le conjugué complexe de z. Il faut savoir que dans ces

deux intégrales, et représentent des opérateurs.

Nous constatons dans les développement de la physique quantique qu'il y a entre les

opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que est "l'adjoint" de (la

transposée de la conjuguée) ou qu'il est "hermitique" et nous écrivons :

(42.61)

si les deux intégrales précédentes sont respectées.

De cette définition, nous déduisons l'identité suivante :

(42.62)

Remarque: Nous démontrerons, plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concret mais

particulier de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous y reviendrons de

manière plus rigoureuse dans notre présentation du formalisme de Dirac dans le chapitre de

Physique Quantique Relativiste.

L'opérateur adjoint a plusieurs propriétés, dont les seules qui vont nous intéresser dans ce

chapitre sont:

P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de

l'opérateur adjoint.

P2. étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons

alors . Ce que nous avons vérifié juste avant par l'exemple avec l'opérateur de quantité

de mouvement!

Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est donc constituée par les "opérateurs

hermitiques self-adjoints", ou plus simplement "opérateur hermitiques" égaux par définition à

leurs adjoints :

(42.63)

puisque ce sont les seules qui émergent dans les développements de la physique quantique

ondulatoire.

Nous remarquons aussi que si nous prenons un opérateur hermitique (comme celui de la

quantité de mouvement pour faire simple par exemple...) et que nous multiplions celui par le

nombre imaginaire unitaire pur i alors il devient anti-hermitique, c'est-à-dire: nom-hermitique.

Remarque: Le terme "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents et rappelez-vous que ces

opérateurs peuvent être aussi des matrices!

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties

hermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

(42.64)

où sont donc hermitiques .

Démonstration:

Si :

(42.65)

car il s'agit d'un simple nombre complexe, alors:

(42.66)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique (la somme ou la

soustractions entre opérateurs hermitiques, reste donc hermitique).

En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques n'est pas

nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le

produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs

"commutent" (voir ce qui suit).

COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit :

(42.67)

D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs et , s'écrit :

(42.68)

Remarques:

R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent dans les développements que l'anti-

commutateur, s'il n'y a pas de confusion possible, nous le notons donc simplement .

R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs dans le cadre de notre étude la

physique quantique ondulatoire seront présentés dans le texte qui suit.

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliserons

le plus):

(42.69)

où sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant

le développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

(42.70)

d'où un résultat très simple:

(42.71)

ce qui pourra se vérifier aisément avec l'exemple pratique que nous ferons juste quelques

lignes en-dessous.

La relation suivante est très utile dans la pratique (triviale, mais comme d'habitude au besoin

nous pouvons rajouter la démonstration):

(42.72)

nous avons de même:

(42.73)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret, que si deux opérateurs ne commutent pas,

alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise et unique pour les deux

opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configuration d'expérience ou le

premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second la coordonnée spatiale).

Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".

Attardons nous un moment sur un exemple concret des commutateurs et dont un des résultats

est fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

(42.74)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

(42.75)

Si nous divisons par des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par ,

nous obtenons :

(42.76)

ce qui nous donne:

(42.77)

donc il vient que le commutateur de x et est égal à et donc que les quantités ne

commutent pas. Nous avons donc la "relations d'anti-commutation" suivante :

(42.78)

(cycl.)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et dont les

opérateurs ne commutent pas ne possèdent une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont

donc pas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertitude

d'Heisenberg.

Remarques:

R1. L'abréviation (cycl.) signifiant que l'on peut permuter circulairement les lettres (x, y, z) et que

le résultat reste le même.

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