Notes sur l'analyse combinatoire, Notes de Mathématiques

Télécharge Notes sur l'analyse combinatoire et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Analyse combinatoire. "L'analyse combinatoire" est le domaine de la mathématique qui s'occupe de l'étude de l'ensemble des issues, événements ou faits (distinguables ou non tous distinguables) avec leurs arrangements (combinaisons) ordonnés ou non selon certaines contraintes données. Définitions: D1. Une suite d'objets (événements, issues, objets,...) est dite "ordonnée" si chaque suite composée d'un ordre particulier des objets est comptabilisée comme une configuration particulière. D2. Une suite est donc "non ordonnée" si et seulement si nous intéresse la fréquence d'apparition des objets indépendamment de leur ordre. D3. Des objets (d'une suite) sont dits "distincts" si leurs caractéristiques ne permettent pas de les confondre avec des autres objets. Remarque: Nous avons choisi de mettre l'analyse combinatoire dans ce chapitre car lorsque nous calculons des probabilités, nous avons également assez souvent besoin de savoir quelle est la probabilité de tomber sur une combinaison ou un arrangement d'événements donnés sous certaines contraintes. Il existe plusieurs types d'arrangements selon les contraintes et les propriétés des éléments arrangés. Nous allons présenter et démontrer ci-dessous les 5 cas les plus répandus à partir desquels nous pouvons trouver (habituellement) tous les autres : 2.1. ARRANGEMENTS AVEC RÉPÉTITION Définition: Un "arrangement avec répétition" est une suite ordonnée de longueur m de n objets distincts non nécessairement tous différents dans la suite (soit avec répétition possible!). Soient A et B deux ensembles finis de cardinaux respectifs m, n tels que trivialement il y ait m façons de choisir un objet dans A (de type a) et n façons de choisir un objet dans B (de type b). Nous avons vu en théorie des ensemble que si A et B sont disjoints, que: (6.34) Nous en déduisons donc les propriétée suivantes: P1. Si un objet ne peut être à la fois de type a et de type b et s'il y a m façons de choisir un objet de type a etn façons de choisir un objet de type b, alors il y a façons de choisir un objet de type a ou de type b. P2. Si nous pouvons choisir un objet de type a de m façons puis un objet de type b de n façons, alors il y a selon le produit cartésien de deux ensembles (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) : (6.35) de manière choisir un seul et unique objet de type a puis un objet de type b. Avec les mêmes notations, choisir une fonction de A dans B, c'est choisir (dans le cas général) pour chaque élément de A, son unique image parmi les n éléments de B. Il y a donc n façons de choisir l'image du premier élément de A, puis aussi n façons de choisir l'image du deuxième, ..., puis n façons de choisir l'image du m-ème. Le nombre d'applications totales possibles de A dans B est donc égal au produit dem égaux à n. Ainsi, nous avons : (6.36) où est l'ensemble des applications de A dans B. La progression du nombre de possibilités est donc géométrique (et non "exponentielle" comme il est souvent dit à tort!). Ce résultat mathématique est assimilable au résultat non-ordonné (un arrangement dont l'ordre des éléments de la suite n'est pas est pris en compte) de m tirages dans un sac contenant n boules différentes avec remise après chaque tirage. Exemples: E1. Combien de "mots" (ordonnés) de 7 lettres pouvons-nous former à partir d'un alphabet de 24 lettres distinctes (très utile pour connaître le nombre d'essais pour trouver un mot de passe par exemple)? La solution est: (6.37) E2. Combien de groupes d'individus aurons-nous lors d'une votation sur 5 sujets et où chacun peut être soit accepté, soit rejeté? La solution (très utilisée dans les entreprises ou en Suisse) est: (6.38) Une généralisation simple de ce dernier résultat peut consister dans l'énoncé du problème suivant : Si nous disposons de m objets tels que peut prendre états différents alors le nombre de combinaisons possibles est: (6.39) Et si nous avons alors nous retombons sur : (6.40) 2.2. PERMUTATIONS SIMPLES (sans répétition) Définition: Une "permutation simple" (appelée anciennement "substitution") de n objets distincts est une suite ordonnée (différente) de ces n objets par définition tous différents dans la suite (sans répétition). Attention à ne pas confondre le concept de permutation et d'arrangement! Il est aisé de calculer et de vérifier que . Effectivement, il existe n façons de choisir le premier objet et (n-1) façons de choisir le deuxième lorsque nous avons déjà le premier. Pour déterminer , nous raisonnons alors par récurrence. Nous supposons connu et nous en déduisons : (6.52) Dès lors: (6.53) alors: (6.54) d'où : (6.55) Ce résultat nous amène à l'assimiler au résultat ordonné (un arrangement dont l'ordre des éléments de la suite est pris en compte) du tirage de p boules d'un sac contenant n boules différentes sans remise. Exemple: Soit les 24 lettres de l'alphabet, combien de "mots" (ordonnés) de 7 lettres distinctes pouvons- nous former ? (6.56) Le lecteur aura peut-être remarqué que si nous prenons nous nous retrouvons avec : (6.57) Donc une permutation simple est donc un arrangement simple sans répétition avec ! 2.5. COMBINAISONS SIMPLES Définition: Une "combinaison simple" ou "choix" est une suite non-ordonnée (dont l'ordre ne nous intéresse pas!) de p éléments tous différents (pas nécessairement dans le sens visuel du terme!) choisis parmi n objets distincts et est par définition notée et appelée la "binomiale". Si nous permutons les éléments de chaque arrangement simple de p éléments parmi n, nous obtenons toutes les permutations simples et nous savons qu'il y en a p! d'où en utilisant la convention d'écriture du site : (6.58) C'est une relation très souvent utilisée dans les jeux de hasard mais également dans l'industrie via la loi hypergéométrique (cf. chapitre de Techniques De Gestion). Remarques: R1. Nous avons nécessairement par définition R2. Selon les auteurs nous inversons l'indice ou le suffixe de C il faut donc être prudent! Exemple: Soit un alphabet de 24 lettres, combien avons-nous de choix de prendre 7 lettres parmi les 24 sans prendre en compte l'ordre dans lequel sont triées les lettres : (6.59) La même valeur peut être obtenue avec la fonction COMBIN( ) de MS Excel. Ce résultat nous amène à l'assimiler au résultat non ordonné (un arrangement dont l'ordre des éléments de la suite n'est pas pris en compte) du tirage de p boules d'un sac contenant n boules différentes sans remise. Il existe, relativement à la binomiale, une autre relation très souvent utilisée dans de nombreux cas d'études ou également de manière plus globale en physique ou analyse fonctionnelle. Il s'agit de la "formule de Pascal" : (6.60) Démonstration: (6.61) Or donc : (6.62) et de même : (6.63) Ainsi gra om 2 RD Ga D _ =D? , (==) POP @-plé@-Dl @-1-p)pl &@-plpl G-pllpl 1! [+= p)]= Gale al ca pipi Gp @-pipi