Notes sur l'analyse fonctionnel, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'analyse fonctionnel, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'analyse fonctionnelle.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les représentations,la représentation tabulaire.
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ANALYSE FONCTIONNEL

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse

qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans

l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des

équations différentielles et des intégrales. A ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il

est difficile de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit plutôt d'un domaine

d'études. Par ailleurs, c'est à cause de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle

touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental de l'analyse dans le chapitre de calcul

différentiel et intégral plutôt qu'ici.

Pourquoi ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La

raison vient pour des raisons historiques à l'étude des divers phénomènes de la nature et la

résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous

amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une

autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à

la disposition de tout à chacun :

- L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système

d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en

détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs

entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien

combien il est parfois pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de

papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait

éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs

travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en

physique théorique.

- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux

méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du

physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes

mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation

graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

Remarque: Avant de commencer la lecture de ce qui va suivre, il peut être utile de rappeler au

lecteur que la définition du concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires y relatives) sont

données dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

REPRÉSENTATIONS

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter

différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à

comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces

représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.

Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments

(paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous

parlons de "fonction bivalente", etc.

REPRÉSENTATION TABULAIRE

Parmi le mode de représentation visuel des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est

celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs

de la variable indépendante et les valeurs correspondantes, dites "variables

transformées" de la fonction dans une autre colonne ou ligne alignée.

Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques,

etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la

dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés

de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.

Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son

ensemble de définition.

Cependant, cette méthode est laborieuse et ne permet pas de voir directement le

comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses

propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de

connaissances mathématiques poussées.

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