Notes sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'"axiomatique ZF-C", Axiome d'extensionalité, Axiome de l'ensemble vide, Axiome de la paire, Axio...
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Axiomatique de Zermelo-Fraenkel.

L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique ZF-C", présentée ci-dessous a été

formulée par Ernst Zermelo puis précisée par Adolf Abraham au début du 20ème siècle et

complétée par l'axiome du choix (d'où le C majuscule dans ZF-C). Elle est considérée comme la

plus naturelle dans le cadre de la théorie des ensembles.

Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle

développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la Théorie

De La Démonstration).

Strictement et techniquement parlant, les axiomes de ZF sont des énoncés du calcul des prédicats

du premier ordre (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire dans un langage ayant

un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement

être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes.

A1. Axiome d'extensionalité:

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous

notons :

(5.12)

Donc A et B sont égaux si tout élément x de A appartient aussi à Bet tout

élément x de B appartient aussi à A.

A2. Axiome de l'ensemble vide:

L'ensemble vide existe, nous le notons:

(5.13)

et il n'a aucun élément, son cardinal vaut donc 0.

En réalité cet axiome peut être déduit à partir d'un autre axiome que nous verrons un peu plus loin

mais il est pratique à introduire en tant que tel par commodité pédagogique dans les petites

classes.

A3. Axiome de la paire:

Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble Ccontenant A et B et eux seuls comme

éléments. Cet ensemble C se note alors {A, B}.

Du point de vue des ensembles considérés comme des éléments cela donne:

(5.14)

Cet axiome montre aussi l'existence du "singleton" (single=seul) d'un ensemble noté :

{X} (5.15)

qui est un ensemble dont le seul élément est X (donc de cardinal unitaire). Il suffit pour cela

d'appliquer l'axiome en posant l'égalité entre A et B.

A4. Axiome de la somme (dit aussi "axiome de l'union" ou encore "axiome de la réunion"):

Cet axiome permet de construire la réunion d'un ensemble, dit de façon plus commune la réunion

de d'un famille quelconque d'un ensemble, est un ensemble.

Autrement dit, il existe pour tout ensemble quelconque, un ensemble qui contient exactement les

éléments de tout élément de l'ensemble. La formalisation (peu intuitive) de cet axiome est la

suivante:

(5.16)

C'est-à-dire qu'étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout

ensemble Cquelconque, C est élément de B si et seulement s'il existe un ensemble D tel que D soit

un élément A et que Csoit un élément de D.

Un petit exemple particulier ne fera peut-être pas de mal... :

(5.17)

Nos voyons que conformément à l'axiome, chaque D est un élément de A et que chaque C est un

élément de Det ce pour chaque C appartenant à B. De même si nous prenons:

(5.18)

L'ensemble B est donc noté:

(5.19)

ou:

(5.20)

A5. Axiome des parties (dit aussi "axiome de l'ensemble des parties") :

Il exprime que pour tout ensemle A, l'ensemble de ses parties P(A) existe.

Donc a tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble B qui contient exactement les parties

(in extenso les sous-ensembles) C du premier:

(5.21)

Nous avons vu un tel exemple déjà plus haut avec :

(5.22)

A6. Axiome de l'infini:

Cet axiome exprime le fait qu'il existe un ensemble infini.

Pour le formaliser, nous disons qu'il existe un ensemble, dit "ensemble

autosuccesseur" K contenant (l'ensemble vide) tel que si x appartient à K,

alors appartient également à K :

K est autosuccesseur : (5.23)

Cet axiome exprime donc que l'ensemble des entiers existe. Effectivement, est ainsi le plus

petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion et par convention

nous notons (où nous construisons l'ensemble des naturels) :

(5.24)

A7. Axiome de régularité (dit aussi "axiome de fondation"):

Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément de lui-même.

Ainsi, pour tout ensemble non vide A, il existe un ensemble B qui est élément de A tel qu'aucun

élément de A ne soit élément de B (il faut bien différencier le niveau du langage utilisé, un

ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons :

(5.25)

En conséquence :

(5.26)

Démonstration:

En effet, soit A un ensemble tel que . Considérons le singleton{A}, ensemble dont le seul

élément est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons avoir un élément de ce singleton qui

n'a aucun élément en commun avec lui. Mais le seul élément possible est A lui-même, c'est-à-dire

que nous devons avoir:

(5.27)

Or par hypothèse, et par construction . Donc , ce qui contredit

l'assertion précédente. Donc :

(5.28)

C.Q.F.D.

A8. Axiome de remplacement (dit aussi "schéma de remplacement"):

Cet axiome exprime le fait que si une formule f est une fonctionelle alors pour tout ensemble A, il

existe un ensemble B constitué exactement des images des éléments A par cette fonction.

Soit, de manière un peu plus formelle, que soit l'ensemble A d'éléments a et la relation

binaire f (qui est donc en toute généralité une fonctionnelle), il existe un ensemble B constitué des

éléments b tel que f(a,b) soit vraie. Sif est une fonction où b est non libre cela signifie alors que:

et (5.29)

De manière technique nous écrivons cet axiome sous la forme:

(5.30)

Donc pour tout ensemble A et tout élément qu'il contient, il existe un et un seul b défini par la

fonctionelle f tel qu'il existe un ensemble B où pour tout élément a appartenant à l'ensemble A il

existe un b appartenant à l'ensemble B défini par la fonctionnelle f.

Voyons un exemple avec le prédicat binaire suivant qui pour la valeur de tout a de A détermine la

valeur de toutb de B:

(5.31)

Donc de la connaissance que a vaut 1 nous en dérivons que b vaut 2 et de manière similaire (in

extenso par remplacement) si a vaut 3, nous en dérivons que b vaut 4.

Nous voyons bien au travers de ce petit exemple la relation forte qu'il y a à considérer le

prédicat P comme une fonction naïve! Par ailleurs, comme il y une infinité possible de fonctions f,

le schéma de remplacement est considéré comme une infinité d'axiomes.

A9. Axiome de sélection (dit aussi "schéma de compréhension"):

Cet axiome exprime simplement que pour tout ensemble A et toute propriété P exprimable dans le

langage de la théorie des ensembles, l'ensemble des éléments de A qui satisfont la

propriété P existe.

Donc de manière plus formelle, à tout ensemble A et toute condition ou proposition P(x), il

correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour

lesquels P(x) est vraie. C'est ce que nous notons :

(5.32)

De manière plus complète et rigoureuse nous avons en réalité pour toute fonctionelle f ne

comportant pas acomme variable libre:

(5.33)

C'est typiquement l'axiome qui nous sert à construire l'ensemble des nombres pairs:

(5.34)

ou à démontrer l'existence de l'ensemble vide (et qui rend cacud l'axiome de l'ensemble vide) car il

suffit de poser qu'il existe un ensemble satisfaisant la propriété:

(5.35)

et ce quelque soit l'ensemble A. Et seulement l'ensemble vide satisfait cette propriété de par

l'axiome de sélection.

Le respect des conditions très strictes de cet axiome permet d'éliminer les paradoxes de la

"théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont

invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble R de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent

pas (notez bien que nous donnons une propriété de R sans expliciter quel est cet ensemble) :

(5.36)

Le problème est de savoir si R se contient ou non. Si , alors, R s'auto-contient, et, par

définition et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par C l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous

avons en particulier :

(5.37)

ce qui est impossible (i.e. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels),

d'après le théorème de Cantor.

Ces "paradoxes" (ou "antinomies syntaxiques") proviennent d'un non respect des conditions

d'application de l'axiome de sélection : pour définir E (dans l'exemple de Russel), il doit exister une

proposition P qui porte sur l'ensemble R, qui doit être explicitée. La proposition définissant

l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est l'ensemble E. Elle est donc invalide!

Un exemple fort sympathique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons)

permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel) :

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il

avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier

lui répondit :"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase

évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se

rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune

étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment ou nous décidons de l'appliquer au cas du

barbier :

Se rase-t-il lui-même, oui ou non ?

Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes,

dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas. Donc il ne rase pas lui-même.

Très bien ! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre alors dans la catégorie de ceux

qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-

même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange : s'il se rase lui-même, il ne se

rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice,

stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection : Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes

auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un

élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes

ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

A10. Axiome du choix:

Étant donné un ensemble A d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un

ensemble B (l'ensemble de choix pour A) contenant exactement un élément pour chaque membre

de A.

Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc des fondements se trouva quand

même ébranlée de deux questions à l'époque de leur construction: quels axiomes valides doivent

être choisis et dans un système d'axiomes les mathématiques sont-elles cohérentes (ne risque-t-

on pas de voir apparaître une contradiction)?

La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse du continu: si nous pouvons mettre

deux ensembles de nombres en correspondance terme à terme, ils ont le même nombre

d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance les entiers avec les rationnels

comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal, nous

ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers avec les réels. La question est alors

de savoir s'il y a un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre les deux ou pas? Cette

question est importante pour construire la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens

choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas, mais nous pouvons aussi dire le contraire.

En fait l'hypothèse du continu est liée de manière plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi

être formulé de la manière suivante: si C est une collection d'ensembles non vides alors nous

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