Notes sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les cardinaux, le produit cartésien, les bornes.
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pouvons choisir un élément de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre fini d'éléments

ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome semble assez évident: nous pouvons ranger les

ensembles de C en les numérotant, et le choix d'un élément dans chaque ensemble est simple. Là

où ça se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance du continu: comment choisir des

éléments s'il n'y pas la possibilité de les numéroter?

Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome

du choix et sans l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore tout ça Paul Cohen

montre en 1963 que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.

1.1. CARDINAUX

Définition: Des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance

biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal".

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans

l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) pour la relation

d'équipotence.

Remarque: Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles, sous une forme que nous qualifions

aujourd'hui de "théorie naïve des ensembles". Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie

comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle

permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante de Cantor a justement été de définir

l'équipotence.

Si nous écrivons en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe

deux ensembles équipotents A et B tels que :

et (5.38)

Les cardinaux peuvent donc êtres comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf.

chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux (la preuve que la relation d'ordre est totale utilise

l'axiome du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique est connue sous le nom de théorème de

Cantor-Bernstein que nous démontrons d'ailleurs plus bas).

Dire que signifie dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une partie propre de B,

mais B n'est équipotent à aucune partie propre de A. Si Les mathématiciens diraient que le Card(A)

est plus petit ou égal auCard(B) si il existe une injection de A dans B.

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un

ensemble équipotent (ou en bijection) à était dit "ensemble dénombrable".

Voyons cette notion un petit peu plus dans les détails:

Soit A un ensemble, s'il existe un entier n tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A un

correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept

que nous définirons plus tard) nous disons alors que le cardinal de A, noté Card(A), est de

"cardinal fini" et vaut n.

Dans le cas contraire, nous disons que l'ensemble A est de "cardinal infini" et nous posons :

(5.39)

Un ensemble A est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre A et . Un ensemble de

nombre A est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection entre A et une partie . Un ensemble

au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini, soit dénombrable.

Nous vérifions dès lors les propositions suivantes:

P1. Une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

P2. Un ensemble contenant un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable

P3. Le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable

Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments

négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

(5.40)

Ces notions étant analogues pour (l'ensemble des nombres complexe n'état pas ordonné, la

deuxième et troisième ligne ne s'y applique pas).

Donc tout sous-ensemble infini de est équipotent à lui-même. En particulier, il y a autant

d'entier naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection )

de vers P, où P désigne l'ensemble des entiers naturels pairs), autant d'entiers relatifs que

d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des

nombres pour les démonstrations).

Nous pouvons donc écrire:

(5.41)

et plus généralement, toute partie infinie de est dénombrable.

Un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait

la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini ,

Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre et le cardinal de ?

Autrement dit, existe-il un ensemble infiniment grand qui serait intermédiaire entre l'ensemble

des nombres entiers et l'ensemble des réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment le cardinal de et (nouveauté) le

cardinal de et en proposant de démontrer ou de contredire que:

(5.42)

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à

partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précédemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse

du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des

mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient

êtres résolus au 20ème siècle.

Ce problème se résout d'une façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands

logiciens du 20èmesiècle, Kurt Gödel, démontra que l'hypothèse de Cantor n'était pas réfutable,

c'est-à-dire qu'on ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse. Puis en 1963, le

mathématicien Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait jamais non plus

démontrer qu'elle était vraie !!! Nous ne pouvons conclure à juste raison que Cantor avait perdu la

raison à chercher à démontrer un problème qui ne pouvait pas l'être.

1.2. PRODUIT CARTÉSIEN

Si E et F sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de E par F" l'ensemble noté

(à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles où e est

un élément de E et f un élément de F.

Autrement écrit:

(5.43)

Nous remarquons facilement que et ne sont pas les mêmes ensembles (sauf bien sur

si ).

Nous notons le produit cartésien de E par lui même :

(5.44)

et nous disons alors est "l'ensemble des couples d'éléments de E".

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensembles et ainsi

obtenir l'ensemble des n-uplets où .

Dans le cas où tous les ensembles sont identiques à E, le produit cartésien se

note bien évidemment . Nous disons alors que est "l'ensemble des n-uplets d'éléments

de E".

Si E et F sont finis alors le produit cartésien est fini. De plus:

(5.45)

De là, nous voyons que si les ensembles sont finis alors le produit

cartésien est aussi fini et nous avons :

(5.46)

En particulier, si E est un ensemble fini.

Exemples:

E1. Si est l'ensemble des nombres réels, est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le

plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément de .

E2. Lorsque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être

symbolisé par l'ensemble . Le résultat d'un lancer est alors un élément de

. Le cardinal de est alors 36. Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés

dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Remarque: La théorie de base des ensembles ainsi que le concept de cardinal sont à la base théorique des

logiciels de bases de données relationnelles.

1.3. BORNES

Soit M un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que (exemple particulier mais

fréquent) nous avons comme définitions:

D1. est appelé "borne supérieure" ou "majorant" de l'ensemble M, si pour .

Inversement, nous parlons de "borne inférieure" ou de "minorant" (il ne faut donc pas confondre le

concept de borne avec le concept d'intervalle!).

D2. Soit . est appelé "plus petite borne supérieure" noté :

(5.47)

de M si x est une borne supérieure de M et si pour toute borne supérieure nous

avons Inversement, nous parlons de "plus petite borne inférieure" que nous notons:

(5.48)

Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse fonctionnelle (voir chapitre du même

nom) puisque les fonctions sont définies sur des ensembles.

Effectivement, Soit f une fonction dont le domaine de définition I balaie tout . Ce que nous

notons et soit .

D1. Nous disons que f présente un "maximum global" en si:

(5.49)

D2. Nous disons que f présente un "minimum global" en si:

(5.50)

Dans l'un de ces deux cas, nous disons que f présente un "extremum global" en (c'est un

concept que nous retrouverons souvent en mécanique analytique!).

D3. f est "majorée" s'il existe un réel M tel que . Dans ce cas, la fonction possède

une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

(5.51)

et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plus petit majorant).

D4. f est "minorée" s'il existe un réel M tel que . Dans ce cas, la fonction possède

une borne inférieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

(5.52)

et elle représente la plus grande borne inférieure (le plus grand minorant).

D5. Nous disons que f est "bornée" si elle est à la fois majorée et minorée (c'est le cas des

fonctions trigonométriques).

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