Notes sur l'effet Doppler-Fizeau relativiste, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur l'effet Doppler-Fizeau relativiste, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'effet Doppler-Fizeau relativiste. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'effet Doppler-Fizeau, démonstration, Le rapport, le "décalage spectral", vitesse apparente.
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L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue

lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. C'est une

technique utilisée en astrophysique pour calculer la distance d'un astre en supposant sa

longueur d'onde d'émission connue (ou estimée) et en mesurant sa longueur d'onde reçue.

L'effet Doppler des ondes électromagnétiques doit être discuté indépendamment de l'effet

Doppler acoustique (appelé également "effet Doppler-Fizeau galiléen"). Premièrement parce

que les ondes électromagnétiques ne consistent pas en un mouvement de matière et que par

conséquent la vitesse de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion, ensuite

parce que leur vitesse de propagation est c (la vitesse de la lumière) et reste la même pour tous

les observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs. L'effet Doppler pour les ondes

électromagnétiques se calcule donc nécessairement au moyen du principe de relativité.

Pour un observateur dans un repère d'inertie, une onde électromagnétique plane et harmonique

peut être décrite par une fonction de la forme :

(48.64)

multipliée par un facteur d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un autre

repère d'inertie, les coordonnées x et t doivent être remplacées par x' et t', obtenues par la

transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte), et celui-ci écrira par

conséquent pour sa description la fonction :

(48.65)

où k' et ne sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur (justement

c'est ce que nous chercons à savoir). Par ailleurs, le principe de relativité demande que

l'expression:

(48.66)

reste invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un autre.

Nous aurons alors:

(48.67)

En utilisant les relations de transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte),

nous avons:

(48.68)

Par identification il vient immédiatement:

(48.69)

si nous tenons compte que :

(48.70)

dans le cas des ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire chacune de ces relations sous

la forme:

(48.71)

Le rapport:

(48.72)

donne le "décalage spectral" noté Z pour un mouvement de l'observateur par rapport à la source

suivant la direction de propagation.

Par ailleurs la dernière relation avec les pulsations est plus souvent donnée dans la littérature

sous la forme suivante :

(48.73)

Ce qui se notre plus couramment encore :

(48.74)

Il faut bien se rappeler que le décalage de pulsation (et donc fréquence) qui a lieu ici est dû à

un mouvement relatif par rapport à la source et non autre chose. Effectivement, lors de notre

étude la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale), nous verrons qu'il y a également

superposition d'un décalage à cause du champ gravitationnel environnant l'émetteur qui sera

étudié comme étant causé par la courbure de l'espace-temps.

En ce qui concerne la transformation de l'amplitude du champ électrique et du champ

magnétique il faut utiliser le tenseur de Maxwell démontré dans le chapitre de Relativité

Restreinte.

Un très bon exemple de l'application de l'effet Doppler consiste à étudier les limites données

par la mesure de la vitesse apparente. Voyons de quoi il s'agit :

VITESSE APPARENTE

En mesurant la vitesse apparente de déplacement d'objets très rapides dans le ciel (jets de

plasma, etc...), les astrophysiciens ont obtenu des vitesses apparentes de déplacement

supérieures à la vitesse de la lumière dans le vide!

Au fait, il s'agit d'une illusion qui peut se produire si la vitesse de l'objet est très proche de celle

de la lumière qu'il émet, donc assez proche de c.

(48.75)

L'objet émet de la lumière à l'instant , celle-ci ne nous atteint pas instantanément mais doit

parcourir une distance d pour arriver à nous. Nous recevons après le temps :

(48.76)

L'objet lui, se déplace à la vitesse v suivant un angle noté θ avec la direction d'observation,

donc à l'instant t, l'objet s'est déplacé d'une distance . La lumière émise par l'objet à

l'instant t doit parcourir la distance (application de Pythagore) :

(48.77)

pour nous arriver (l'objet s'est avancé de dans la direction d'observation mais s'est éloigné de l'axe

d'observation de la distance ), nous recevons donc la lumière qui a été émise par l'objet à l'instant t après

un temps :

(48.78)

Entre les deux positions de l'objet, il s'est écoulé la durée t mais, vu de l'observateur, l'intervalle de temps entre la

réception des images de ces deux positions est :

(48.79)

différent de t.

Pour un intervalle de temps t petit, nous avons, en développement limité de Taylor :

(48.80)

Pendant cet intervalle de temps, toujours vu de l'observateur, l'objet semble s'être déplacé sur

le plan du ciel de .

Ainsi, la vitesse apparente de l'objet est :

(48.81)

Si nous posons l'angle comme étant égal très proche d'un angle droit, nous avons alors le

deuxième terme du dénominateur qui est très petit ce qui nous permet avec un développement

de Taylor d'écrire une relation que l'on retrouve assez souvent dans les manuels scolaires des

petites classes:

(48.82)

Cherchons le maximum de cette fonction pour comprendre comme une telle observation est

possible en dérivant par rapport à et en cherchant pour quelle valeur la dérivée s'annule:

(48.83)

et cela s'annule après simplification du dénominateur pour :

(48.84)

d'où :

(48.85)

La vitesse apparente est alors est alors :

(48.86)

et elle est égale ou supérieure c si déjà :

(48.87)

donc :

(48.88)

Nous voyons ainsi qu'il est possible d'observer des mouvements apparents plus rapides que la

lumière, alors même que l'objet est très rapide, certes, mais plus lent que c. Comme il ne s'agit

que d'une illusion, il n'y a pas de contradiction avec la théorie de la relativité.

En connaissant la vitesse de déplacement d'un astre obtenue à l'aide de l'effet Doppler et la

vitesse apparente à l'aide des observations, il est alors facile pour les astrophysiciens de

déterminer l'angle en faisant un peu d'algèbre élémentaire à partir de la relation ci-dessous :

(48.89)

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