Notes sur l'électrodynamique, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'électrodynamique, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'électrodynamique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la première équation de maxwell, les explications, la deuxième équation de maxwell, la troisième équation de maxwell, l'explicat...
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ÉLECTRODYNAMIQUE

Nous allons dans ce chapitre étudier un ensemble d'équations qui peuvent résumer à elles

seules l'ensemble de nos connaissances sur l'électrostatique et la magnétostatique. Ces

équations, au nombre de quatre, se nomment "équations de Maxwell-Heaviside" (que nous

abrégerons par abus comme de nombreux autres ouvrages "équations de Maxwell") et vont

nous permettre d'aborder la branche de la physique appelée "électrodynamique" et donc des

ondes électromagnétiques.

Remarque: Il est très important de bien comprendre ce qui va suivre! Certains des

développements seront réutilisés dans les chapitres de Relativité Restreinte, de Physique

Quantique Des Champs, etc. Par ailleurs, il faudrait que le lecteur lise en parallèle le chapitre de

Relativité Restreinte pour mieux comprendre les tenants et aboutissants de certains résultats et la

provenance de quelques outils mathématiques.

Rappel : Nous supposerons que tout à chacun sait en ce début de 3ème millénaire que les

rayons gamma, les ondes radio, les micro-ondes, la lumière visiible (et non visible) sont

simplement des ondes électromagnétique (E.M.) de fréquences différentes!

PREMIÈRE ÉQUATION DE MAXWELL

Soit définit un champ de vecteurs dans l'espace. Considérons une surface S fermée dans le

champ. Alors à chaque point (x, y, z) appartenant à la surface correspond un vecteur du champ.

Dans ce cas le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donne :

(37.1)

avec V étant le volume de la surface (dite "surface de Gauss") fermée.

Remarque: Le théorème d'Ostrogradsky est vérifié à condition qu'il n'existe pas de singularités

de dans V.

Rappel : Dans le cas du théorème de Ostrogradsky le vecteur est conventionnellement dirigé

vers l'extérieur de la surface.

Dans le cas particulier du champ électrique, nous obtenons des résultats très intéressants. En

effet soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur .

Alors, nous avons vu dans le chapitre d'Électrostatique qu'en chaque point de l'espace il existe

un champ tel que:

(37.2)

d'où :

(37.3)

Comme nous pouvons le constater, le champ possède une singularité en .

Considérons une surface de Gauss tel que la charge Q se trouve à l'extérieur de cette surface. A

l'intérieur du volume V délimitant la surface S le champ ne possède alors pas de

singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence de :

(37.4)

Donc si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons (voir le chapitre de Calcul

Vectoriel pour la description détaillée de l'opérateur Nabla):

(37.5)

Le flux est nul !

Dans le cas où la charge Q se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss n'est plus défini

en nous avons alors:

(37.6)

Avec étant le flux de sur une petite boule B entourant la charge ponctuelle Q.

Dans ce cas :

(37.7)

car la divergence est définie partout sur V-B. Il nous reste donc:

(37.8)

Mais dans le cas d'une sphère il est facile de calculer

Nous avons :

(37.9)

d'où la "première équation de Maxwell" ou "loi de Gauss" pour le champ électrique (ou

"théorème de Gauss") :

(37.10)

Explications : Cette équation suggère que le flux du champ électrique traversant une surface

close (d'où le cercle sur l'intégrale) est égale, à un facteur dimensionnel près, à la charge totale

enfermée dans cette surface.

Remarques:

R1. Il est intéressant (et trivial) de remarquer que le résultat est identique si nous prenons la

formulation relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte) de l'expression du champ électrique

(à cause des différentielles qui sont partielles et non totales) !

R2. L'intégrale de la dernière relation est une intégrale curviligne (donc évaluée sur une courbe).

Dans le domaine de l'électrodynamique les intégrales curvilignes s'appliquent très souvent sur

des chemins ou surfaces fermées d'où l'indication d'un cercle superposé au symbole de l'intégrale

portant alors le nom de "circulation du champ de vecteurs".

Si nous exprimons maintenant cette équation en fonction du potentiel électrique, nous

obtenons :

(37.11)

où donc . Nous pouvons noter la relation ci-dessus de façon plus esthétique en

utilisant le Laplacien scalaire, tel que nous obtenions la relation:

(37.12)

appelée "équation de Maxwell-Poisson".

DEUXIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

Dans le cas particulier du champ magnétique, nous obtenons des résultats très intéressants. En

effet soit un courant I repéré par rapport à un référentiel par le vecteur . Alors en chaque

point de l'espace, nous avons vu dans le chapitre de Magnétostatique qu'il existe un

champ tel que:

(37.13)

d'où :

(37.14)

Comme nous pouvons le constater, le champ possède une singularité en .

Considérons alors une surface de Gauss tel que le courant I se trouve à l'extérieur de cette

surface.

A l'intérieur du volume V délimitant la surface S le champ ne possède alors pas de

singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence de :

(37.15)

D'où :

(37.16)

Si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons alors :

(37.17)

Le flux est nul !

Dans le cas où le courant I se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss n'est plus défini

en nous avons alors :

(37.18)

Avec étant le flux de sur une petite boule entourant partiellement le conducteur

rectiligne transportant le courant I. Dans ce cas:

(37.19)

car la divergence est définie partout sur V-B.

Il nous reste donc:

(37.20)

Mais dans le cas d'une sphère il est facile de calculer :

(37.21)

Nous avons alors loi de Gauss pour le champ magnétique :

(37.22)

Dans le cas du champ magnétique, et sont perpendiculaires donc :

(37.23)

Remarque: D'où nous pouvons aussi déduire que !

Donc, soit donnée une surface de Gauss dans un champ magnétique, alors le flux du champ

magnétique à travers cette surface vaut:

(37.24)

relation qui constitue la "deuxième équation de Maxwell".

Explication : La deuxième équation est basée sur le fait qu'il n'existe aucun " monopôle

magnétique" dans la nature, c'est-à-dire, qu'à tout pôle positif, nous devons retrouver un pôle

négatif (à partir d'un aimant, les lignes du champ ne divergent pas). La deuxième équation vient

toutefois rajouter l'idée (démontrée par Dirac) que s'il était possible de retrouver un monopôle

dans la nature, il serait le point de source du champ magnétique. Nous verrons cela un peu plus

loin dans les détails.

Remarque: Il est intéressant (et trivial) de remarquer que le résultat est identique si l'on prend la

forme relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte) de l'expression du champ électrique (à

cause des différentielles qui sont partielles et non totales)!

TROISIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

Nous démontrerons dans le chapitre d'Électrocinétique (car il faut des notions que nous n'avons

pas encore rencontrées), que la variation du flux du champ magnétique dans le temps à travers

une boucle conductrice induit une tension dans cette boucle donnée par la "loi de Faraday" :

(37.25)

et nous avons déjà démontré dans le chapitre d'Électrostatique que:

(37.26)

donc:

(37.27)

Remarque: Nous verrons dans le chapitre d'Électrocinétique qu'il n'est pas tout à fait correct de

noter le potentiel U comme ci-dessus car au fait, la loi de Faraday exprime la force

électromotrice (potentiel électromoteur) e et ce potentiel est non conservatif contrairement au

potentiel électrostatique de Coulomb.

Si nous développons cette relation, en utilisant le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) nous obtenons alors:

(37.28)

Ceci est la "troisième équation de Maxwell" ou "loi de Maxwell-Faraday" dite parfois encore "loi

d'induction".

Explication : La troisième équation affirme qu'une variation du champ magnétique produit un

champ électrique dans une boucle conductrice. Cette équation est donc basée sur la théorie de

Faraday.

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