Notes sur l'électrodynamique relativiste - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'électrodynamique relativiste - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'électrodynamique relativiste - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La transformée relativiste du champ électrique, la démonstration.
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ÉLÉCTRODYNAMIQUE RELATIVISTE

Avec un spectromètre de masse, nous établissons que le rapport m/qde la masse m d'une

particule par sa charge électrique q varie de la même manière que la masse m lorsque la

vitesse v de la particule varie :

(49.238)

Ainsi, il vient que :

(49.239)

La charge d'une particule est donc indépendante de sa vitesse comme nous l'avons démontré

dans la section d'électromagnétisme (cf. chapitre d'Électrodynamique) lors de la détermination

de l'équation de conservation de la charge.

Considérons maintenant deux charges q et Q immobiles dans le référentiel O' en translation à

vitesse v par rapport à O :

(49.240)

Nous allons nous restreindre au cas où la vitesse est parallèle à l'axe X :

(49.241)

La charge Q est placée en O' et elle est donc immobile pour O' . L'observateur O' conclut

qu'une force électrostatique :

(49.242)

agit donc sur la charge témoin q placée en .

(49.243)

L'observateur O voit également un champ électrostatique en , mais il voit aussi que Q est

en mouvement selon l'axe X. Il en déduit donc l'existence d'un champ

magnétique en orienté dans le plan YZ :

(49.244)

Il mesure donc la force (cf. chapitre de Magnétostatique) de Lorentz (supposée connue) :

(49.245)

Mais :

(49.246)

Donc :

(49.247)

Nous avons vu maintenant:

(49.2

48)

La comparaison des expressions ci-dessus donne les transformations relativistes du champ

électrique :

(49.249)

Comme pour la transformation de Lorentz des composantes spatiales et temporelles, nous

avons obtenu les transformations inverses en échangeant les champs et en considérant que O'

voit O reculer (nous remplaçons donc v par -v).

Pour obtenir les transformations du champ magnétique nous procédons comme ci-dessous:

(49.250)

Après quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons :

(49.251)

Nous faisons identiquement:

(49.252)

Après encore une fois quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous

obtenons :

(49.253)

et ainsi de suite. Nous obtenons finalement :

(49.254)

Etudions maintenant le comportant du champ électromagnétique d'une charge en mouvement :

Soient deux référentiels parallèles O et O', en translation à vitesse constante v selon l'axe XX' :

(49.255)

où une charge immobile Q est placée en O'.

Il est clair alors que l'observateur O mesure partout et qu'au point P du plan X 'Y ',

en il mesure le champ électrostatique :

(49.256)

Si l'observateur O est informé des valeurs de et de , il peut les introduire dans les

transformées relativistes donnant le champ électrique qu'il observe:

(49.257)

Pour écrire une expression du champ au point P, l'observateur O doit déterminer, à un

instant t de son temps local, les composantes du vecteur qui sépare le point P de la

charge Q (en sommant les vecteurs positions de ces deux derniers points matériels).

Les coordonnées du point P et de la charge Q qu'il voit dans le plan XYZ sont données par les

transformations de Lorentz habituelles :

et (49.258)

Il en déduit donc facilement, par sommation les distances x,y.

Une autre méthode, plus simple, est que étant donné que la composante x est une longueur,

elle subit donc les transformations de Lorentz et :

(49.259)

Car rappelons-le:

et (49.260)

La transformée relativiste du champ électrique donne alors:

(49.261)

et :

(49.262)

Écrit sous forme vectorielle :

(49.263)

Il nous faut encore déterminer exprimer r' en fonction de r :

(49.264)

car (théorème de Pythagore) :

(49.265)

L'écriture se simplifie si nous utilisons l'angle formé par le vecteur champ électrique et l'axe X.

Nous notons alors dans O' et dans O les angles données par :

et (49.266)

avec à cause de la dilatation des longueurs selon l'axe X.

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