Notes sur l'énergie potentielle gravifique - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'énergie potentielle gravifique - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'énergie potentielle gravifique - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le champ conservatif, l'application, l'énergie potentielle d'une sphère de matière.
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ÉNERGIE POTENTIELLE GRAVIFIQUE

Si le travail de la force entre les points A et B ne dépend pas du chemin suivi, nous disons que

cette force dérive d'une énergie potentielle ou bien que le champ de force est un "champ conservatif"

(contre-exemple: dans un mouvement avec frottement le travail dépend nécessairement de la voie

choisie). Cette indépendance par rapport au chemin suivi implique que:

Soit deux points A et B de l'espace. Il y a plusieurs chemins possibles pour joindre ces deux points.

Si nous en choisissons deux au hasard nous avons :

Sur le 1er chemin :

Sur le 2ème chemin :

(30.253)

Si le champ est conservatif nous avons :

(30.254)

ou encore que le travail total sur un chemin fermé (aller et retour) est nul. Nous notons cela (cf.

chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(30.255)

Le travail en jeu est donc une fonction du lieu seul ( ) c'est-à-dire dépendant uniquement du

point de départ et du point d'arrivée. En effet, si le travail dépendait du chemin, il serait possible de

choisir la voie la plus généreuse quand le système fournit du travail et la voie la plus économique

quand nous la ramenons à l'état initial. Ce serait donc un mouvement perpétuel et le principe de

conservation de l'énergie l'interdit (cf. chapitre de Thermodynamique).

Attachons alors à chaque point du champ de force une valeur de la fonction (un nombre réel)

correspondant au travail effectué par le champ de force lorsque le mobile passe d'un

point P à 0, 0 étant un point de référence choisi arbitrairement. Donc par définition:

avec

(30.256)

En généralisant cette définition, nous dirons que le travail effectué par une force conservative

lorsque le mobile passe de A à B est égal à la diminution d'énergie potentielle entreA et B :

(30.257)

Par définition est l'énergie potentielle et se mesure en Joules.

L'équation précédente s'utilise très souvent sous forme différentielle soit :

(30.258)

Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie est le gradient de la force donnée qui découle

simplement de la définition du travail :

(30.259)

Application: Travail de la pesanteur et énergie potentielle gravifique au voisinage de la surface de la

Terre. C'est donc un cas particulier où la force est constante...

(30.260)

Soit un point de masse m se déplaçant selon une trajectoire quelconque AB. Le poids effectue le

travail:

(30.261)

En exprimant les différents vecteurs en composantes :

, , (30.262)

et en calculant le produit scalaire au moyen de ces composantes nous obtenons :

(30.263)

La différence représente la différence d'altitude entre les points A et B. Nous constatons

bien que le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée.

Si, en sens inverse, nous voulons faire passer le point de B à A, le travail, fourni alors par un agent

extérieur vaut:

(30.264)

ce qui montre bien que le travail total sur un chemin fermé est nul:

(30.265)

En comparant les relations:

et (30.266)

et en identifiant, nous obtenons ainsi :

(30.267)

qui est l'énergie potentielle gravifique, z étant l'altitude de la masse m. Nous notons plus

simplement la plupart du temps cette relation sous la forme :

(30.268)

Remarque: Le choix de zéro de l'énergie potentielle est souvent arbitraire; nous le fixons par

commodité. Seules les différences d'énergie potentielle sont généralement intéressantes comme

nous allons le voir de suite.

La relation précédente est au fait une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance

où R est le rayon de la terre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus

valable (si aussi, d'ailleurs...).

Pour déterminer la relation correcte, considérons deux masses . La première est supposée au

repos et fixe la deuxième est amenée de l'infinie à une distance donnée de (le même

raisonnement est applicable pour le champ électrique). Le travail dW de la force gravitationnelle en

un point quelconque étant donc :

(30.269)

et l'énergie potentielle du système :

(30.270)

Alors :

(30.271)

d'où simplement (l'énergie potentielle en un point) :

(30.272)

Voyons si cela est cohérent avec ...

A hauteur nulle de la surface terrestre, , nous avons :

(30.273)

Nous élevons l'objet de :

(30.274)

Nous utilisons l'approximation grossière :

(30.275)

valable quand d'où :

(30.276)

Comme à la surface de la terre nous avons l'habitude de poser en laboratoire , nous

obtenons bien finalement :

(30.277)

et nous voyons qu'il s'agit effectivement d'une grossière approximation.

Remarque: Nous pourrions appliquer le même développement dans l'étude de la force de

Coulomb et du champ électrique mais jusqu'à maintenant nous n'avons jamais mis de laboratoire

à la surface d'une charge... (sic!)

ÉNERGIE POTENTIELLE D'UNE SPHÈRE DE MATIÈRE

Nous allons calculer ici l'énergie potentielle d'une sphère de matière. Cet exercice de style va nous

être très utile en astrophysique pour déterminer la température interne des étoiles et dans la

chapitre de Cosmologie pour le départ du modèle de Friedmann.

L'expression d'une énergie potentielle d'un système de deux masses mises en présence est donnée

par:

(30.278)

Soit une sphère de masse M, de densité massique et de rayon r et entourée d'un anneau

sphérique de rayon intérieur r, de même densité massique et d'épaisseur dr

L'énergie potentielle de l'anneau sphérique de rayon interne r et d'épaisseur dr se calcule comme

suit:

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