Notes sur l'énergie potentielle gravifique - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'énergie potentielle gravifique - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'énergie potentielle gravifique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la conservation de l'énergie mécanique totale, la conservation de la quantité de mouvement.
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La masse de la sphère de rayon r et de densité massique est:

(30.279)

La masse de l'anneau entourant la sphère de rayon r, d'épaisseur dr et de densité massique est:

(30.280)

En introduisant les deux dernières expressions dans celle de l'énergie potentielle:

(30.281)

En intégrant l'expression précédente entre 0 et R, cela revient à ajouter successivement une suite

d'anneaux d'épaisseur dr pour obtenir la sphère entière de rayon R et donc l'énergie potentielle de la

sphère entière.

(30.282)

Ce qui s'écrit encore:

(30.283)

Soit finalement:

(30.284)

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE MÉCANIQUE TOTALE

Comparons maintenant les équations:

(30.285)

puisqu'il s'agit du même travail.

Ce qui entraîne:

(30.286)

somme des deux formes d'énergie en chaque point ou encore, les lieux A et B. étant quelconques,

en écrivant l'équation sous une forme générale:

(30.287)

Remarque: Nous nommons souvent l'énergie totale d'un système "l'hamiltonien du système"

comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Mécanique Analytique.

En l'absence de frottement s'il s'agit d'énergie mécanique, nous écrivons aussi la variation tel que :

(30.288)

Une augmentation d'énergie cinétique entraîne donc une diminution d'énergie potentielle (et

réciproquement) puisque la somme des deux reste constante.

Contre-exemple: S'il y a frottement, donc dégagement de chaleur, l'énergie mécanique totale n'est

plus constante! (l'énergie mécanique seulement).

Par ailleurs reprenons la relation :

(30.289)

et donc:

(30.290)

D'autre part, étant une fonction scalaire dépendant des coordonnées d'espace formons sa

différentielle totale:

(30.291)

en comparant avec l'équation précédente et en identifiant terme à terme, nous avons :

(30.292)

d'où l'expression affirmant que la force dérive d'une énergie potentielle si le travail en jeu est

indépendant du chemin suivi. Si nous exprimons la force en termes de vecteurs-unités, nous

obtenons :

(30.293)

En définitive, l'affirmation que la force dérive d'une énergie potentielle peut se résumer ainsi:

(30.294)

Dans le cas de la gravitation :

(30.295)

Le champ de gravitation est donc caractérisé par l'ensemble des vecteurs .

CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

Un mobile, lors d'une interaction avec un autre point matériel, peut transmettre tout ou partie de son

mouvement (énergie cinétique ou/et potentielle). C'est le cas lors d'un choc, par exemple (ceci dit le

calcul de la force d'un choc est extrêmement difficile à calculer sans de nombreuses simplifications).

La grandeur ainsi échangée est la quantité de mouvement . Elle vaut par définition (nous l'avons

déjà vu lorsque nous avons parlé de la deuxième loi de Newton):

(30.296)

Evidemment, nous avons :

(30.297)

La quantité :

est parfois appelée "impulsion", et l'équation précédente porte quelque fois le nom de "théorème de

la quantité de mouvement".

Il s'énonce ainsi: L'impulsion fournie par une force entre les instants et est égale à la variation

de la quantité de mouvement durant cet intervalle de temps.

Mais revenons en à notre conservation de la quantité de mouvement (et donc de l'énergie et

réciproquement...). L'intérêt de la grandeur de quantité de mouvement résulte du fait qu'elle est

conservée dans les interactions (en première approximation..). En effet, soient deux mobiles en

collision, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton) nous avons :

(30.298)

et en utilisant le théorème de la quantité de mouvement nous pouvons écrire:

(30.299)

En additionnant membre à membre ces deux équations, nous déduisons :

car (30.300)

et donc:

(30.301)

La quantité de mouvement totale est constante, elle se conserve donc.

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