Notes sur l'équation d'Einstein des champs, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'Einstein des champs, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'Einstein des champs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'expression de la constante, la relation, la constante d'Einstein, L'équation d'Einstein des champs.
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ÉQUATION D'EINSTEIN DES CHAMPS

Il est temps maintenant de nous attaquer au plus beau, à l'une des équations les plus fameuses

de notre époque et qui fait briller les yeux de beaucoup de jeunes étudiants : l'équation

d'Einstein des champs. Celle qui explique pourquoi la matière (l'énergie) courbe l'espace.

Rappelons quelques résultats que nous avons obtenus jusqu'ici. Premièrement, nous avons

réussi à démontrer avec brio que toute particule (supposée libre mais cela est laissé à

l'interprétation... dans un espace courbe...) suit l'équation du mouvement des géodésiques :

(50.192)

Dans le chapitre de Calcul Tensoriel, nous avons démontré (non sans peine) que ce que nous

appelons le "tenseur d'Einstein" (qui est une constante dans un espace Riemannien donné) est

donné par :

(50.193)

Puisque la dérivée covariante du tenseur d'Einstein est nulle et que nous avons démontré que la

dérivée covariante de T.E.I. l'est aussi, il est tentant de poser :

(50.194)

où est un constant de normalisation et devant satisfaire la relation pour qu'elle soit

homogène au niveau des unités. Ainsi, il vient :

(50.195)

Pour trouver l'expression de la constante, nous allons nous placer en limite newtonienne et

exiger que la relation précédente reproduise l'équation de Poisson pour le potentiel

gravitationnel (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

(50.196)

Remarque: Cette relation montre que le potentiel de gravitation est relié à la matière de façon

linéaire par l'intermédiaire de ses dérivées secondes. Einstein pensa donc que le premier membre

des équations du champ en relativité générale, membre supposé décrire la géométrie de l'espace-

temps, devait donc inclure d'une manière ou d'une autre les dérivées secondes, non pas du

potentiel de gravitation, mais des potentiels de la métrique. En fait, Einstein essaya de

généraliser le membre de droite de l'équation de Poisson : la grandeur recherchée devait inclure

non seulement la densité de matière mais aussi l'impulsion (dès que le corps est en mouvement,

son énergie augmente et donc sa masse. Pour évaluer l'effet gravitationnel d'un corps il fallait

donc combiner sa masse au repos avec son impulsion. Il s'agissait finalement du T.E.I. de rang 2

qui est la généralisation du quadrivecteur impulsion de la relativité restreinte.

Nous avons montré plus haut que dans la limite newtonienne (approximation du champ faible) :

(50.197)

et dans notre définition du T.E.I., pour une distribution de matière au repos seule la

composante suivante est non nulle :

(50.198)

Il vient dès que l'équation de Poisson peut s'écrire :

(50.199)

Maintenant revenons sur la relation :

(50.200)

En contractant les deux membres de la relation précédente, il vient :

(50.201)

Or, le scalaire de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) est donné par . Il vient

donc :

(50.202)

Or dans la métrique lorentzienne (-,+,+,+) il est immédiat que:

(50.203)

Donc :

(50.204)

En utilisant cette dernière relation, l'équation :

(50.205)

qui peut s'écrire aussi :

(50.206)

peut finalement s'écrire :

(50.207)

Intéressons-nous à la composante telle que la relation précédente s'écrive :

(50.208)

Explicitons selon le tenseur de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) selon sa définition :

(50.209)

Il vient alors :

(50.210)

Or, le tenseur de Riemann-Christoffel sous forme développée dans ce cas particulier est donnée

par (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(50.211)

Remarque: En absence de champ gravitationnel et en coordonnées cartésiennes, il est logique

que tous les symboles de Christoffel soient nuls. En effet, les Christoffel traduisent rien de plus

que les forces d'inertie. Mais quand nous avons un champ de gravitation, les trajectoires suivies

ne sont plus des droites, même dans le cas newtonien alors les Christoffel sont non nuls...

A l'approximation du champ faible lentement variable dans le temps, les symboles de

Christoffel sont d'ordre O et leurs produits sont d'ordre et les dérivées temporelles sont

négligeables devant les dérivées spatiales. Il reste donc seulement les termes d'ordre O tel que :

(50.212)

Or, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Tensoriel que :

(50.213)

Dès lors :

(50.214)

Or dans l'approximation du champ faible la variation de la métrique par rapport au temps étant

négligeable par rapport à la variation spatiale (l'approximation est un peu tirée par les cheveux

il faut dire...) :

(50.215)

Par conséquent, la relation :

(50.216)

devient :

(50.217)

et nous constatons immédiatement qu'il s'agit de l'équation de Poisson si et seulement si :

(50.218)

constante qui est parfois appelée "constante d'Einstein".

L'équation d'Einstein des champs est donc sous forme définitive :

(50.219)

ou de manière plus conventionnelle :

(50.220)

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la

métrique et l'expression de droite représente une modélisation du contenu masse/énergie de

l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations

décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de

l'univers. Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le coeur de la

formulation mathématique de la relativité générale.

L'équation d'Einstein est donc une équation dynamique qui décrit comment la matière et

l'énergie modifie la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une

source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le

mouvement des objets dans ce champ étant décrit très précisément par l'équation de sa

géodésique.

Par ailleurs, nous venons aussi de voir que l'équation d'Einstein se réduit aux lois de la gravité

de Newton en utilisant l'approximation des champs faible et des mouvements lents.

Puisque le tenseur d'énergie-impulsion comporte 16 composantes dont au fait 10 sont

réellement uniques (indépendantes) puisque le tenseur est symétrique, nous pouvons voir

l'équation d'Einstein des champs comme dix équations différentielles du second ordre sur

tenseur de champ métrique .

Ces équations différentielles sont en général cauchemardesques à résoudre, les scalaires et

tenseurs de Ricci sont des contractions du tenseur de Riemann, qui incluent les dérivées et les

produits des symboles de Christoffel, qui eux mêmes sont construits sur le tenseur métrique

inverse et sur les dérivées de celui-ci. Pour corser le tout, il est possible de construire des

tenseurs d'énergie-impulsion qui peuvent invoquer la métrique aussi. Il est donc très difficile

de résoudre les équations d'Einstein des champs dans le cas général et nous devons donc

souvent nous appuyer sur des hypothèses simplificatrices.

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