Notes sur  l'équation d'Euler-Lagrange - 1° partie., Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange - 1° partie., Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'Euler-Lagrange - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'exemple d'application, la relation.
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ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE

Le principe de moindre action énonce donc que (l'intégrale) S est extrêmale si:

(29.9)

est la trajectoire naturelle effectivement suivie par le système physique.

Considérons alors une trajectoire très voisine à la précédente, que nous noterons:

(29.10)

Remarque: Nous avons omis maintenant l'écriture des arguments t des fonctions du temps afin

d'alléger les écritures.

Si est bien l'évolution d'un système évoluant selon le principe de moindre action, alors

l'action donné par la variation :

(29.11)

est nulle pour et tendant vers zéro (sous-entendu que tout système physique revient à

son état initial sans intervention extérieure).

Ce qui nous amène à écrire :

(29.12)

Ce qui nous permet de justifier la dénomination de "principe variationnel" (aussi appelée parfois

le "principe de stationnarité de l'action"):

(29.13)

Ce principe stipule donc que la trajectoire d'une particule (ou d'un système plus général)

s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soit stationnaire par

rapport à une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nous effectuons une variation

infiniment petite de la trajectoire, la variation doit être nulle.

Pour un système mécanique simple l'action est alors évidemment de par le principe de

conservation de l'énergie égale à l'intégrale sur la trajectoire de (par définition du lagrangien) la

différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Dès lors, dans une théorie pour laquelle les forces dérivent d'un potentiel V, nous sommes

naturellement amenés à définir le "Lagrangien" par la relation (il faudra s'en souvenir !) :

(29.14)

où T et V sont la notation traditionnelle dans le formalisme Lagrangien de l'énergie cinétique et

de l'énergie potentiel données par :

et (29.15)

Remarque: Pour l'étude de la relativité générale, nous ne chercherons pas à ce que la variation de

la différence des énergies soit minimale tel que c'est le cas pour les systèmes mécaniques, mais la

variation de la longueur d'un arc ds (non dépendant du temps contrairement à l'exemple

précédent) dans un espace quelconque lors d'une trajectoire d'un système libre. Ce qui nous

amènera à écrire simplement (rappelez-vous en aussi car ce sera très important) l'action:

(29.16)

pour un masse unitaire et en prenant les unités naturelles.

Pour revenir à notre application du principe variationnel dans le cas du lagrangien généralisé,

nous pouvons alors écrire la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral) de dL et nous obtenons alors la relation :

(29.17)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le deuxième terme de la

somme de l'intégrale précédente :

(29.18)

Le premier terme de la dernière égalité est nul puisque

(29.19)

Effectivement, par définition, les ont exactement le même ordre de grandeur.

L'expression de l'intégrale de moindre action peut finalement s'écrire :

(29.20)

Mais les et tendent vers 0 d'une infinité de manières différentes et nous devons

cependant avoir néanmoins . Cela veut dire alors que chaque terme sommé de

l'intégrale peut être pris indépendamment et doit satisfaire :

(29.21)

Mais comme les fonctions et peuvent toujours tendre vers zéro de multiple façon, et

que cette intégrale doit être quand même nulle, nous en déduisons que ce sont les intégrandes

qui sont nuls :

(29.22)

Ces n équations, satisfaites par le lagrangien généralisé du système pour le mouvement

effectivement suivi, sont appelées "équations d'Euler-Lagrange", ou plus brièvement (mais plus

rarement) "équations de Lagrange". Ce sont, comme nous allons le voir, les équations du

mouvement du système: résolues, elles donnent l'évolution effective du système dans le temps.

(29.23)

Remarque: C'est en étudiant la physique (les chapitres suivants du site) que l'on comprend mieux

les applications de cette équation (obtenue quasiment que par des développements purement

mathématiques !!!) et qu'il devient alors possible de comprendre sa signification. A notre niveau

du discours, il est inutile de dire quoi que ce soit. Il faut faire de la physique, et encore de la

physique pour la comprendre et la voir apparaître.

Donc dans l'approche lagrangienne, nous apprenons à raisonner à partir des concepts d'énergie

potentielle et cinétique, au lieu des concepts de force. Les deux approches sont évidemment

équivalentes physiquement, mais les énergies n'étant pas des quantités vectorielles, elles sont

conceptuellement plus faciles à utiliser dans une vaste gamme de problèmes. En physique

quantique par exemple, la notion de force n'a aucune signification mais les notions d'énergie

demeurent valables. C'est une raison de plus pour se familiariser avec leur utilisation. De plus,

la force au sens de Newton est une action instantanée à distance. En relativité, une telle chose

est impossible. La notion de force est donc une création purement classique et macroscopique

contrairement à notre intuition, son intérêt est limité.

Exemple d'application (les autres exemples seront vus pendant notre étude des lois de Newton,

de l'électrodynamique, de la relativité restreinte, de la relativité générale, de la physique

quantique des champs, etc..):

Dans un premier temps, posons sous une forme mathématique conventionnelle l'équation

d'Euler-Lagrange (la notation des coordonnées généralisées n'est pas identique en

mathématiques à celle de la physique...):

(29.24)

Prenons un exemple mathématique pratique simple mondialement connu et très important

(nous réutiliserons les développements effectués ici pour l'étude du pendule de Huygens).

L'énoncé du problème est le suivant : déterminer quel est le plus court chemin entre deux

points d'un plan (nous devinons que c'est la droite mais il faut le démontrer!).

Ce problème consiste à trouver la courbe paramétrée la plus courte qui relie

deux points (attention la variable t n'a rien à voir avec le temps!) :

(29.25)

Ainsi la longueur infinitésimale par application de Pythagore est :

(29.26)

Ainsi, la longueur de la courbe paramétrée est donnée par :

(29.27)

Il s'agit d'une relation que nous retrouverons souvent en physique et en mathématiques!!

Ainsi, ce problème, dont la solution géométrique est très simple, se formule sous forme de

problème de calcul variationnel de la manière suivante :

(29.28)

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