Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'Euler-Lagrange - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation d'Euler-Lagrange, le théorème du calcul variationnel, la démonstration.
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Ecrivons l'équation d'Euler-Lagrange que la solution de ce problème, si elle existe, doit vérifier.

Nous avons :

(29.29)

L'équation d'Euler-Lagrange dans ce cas particulier devient alors :

(29.30)

Donc :

(29.31)

où C est une constante d'intégration (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Cette

dernière égalité implique que :

(29.32)

En revenant aux notations utilisées au début :

(29.33)

donc nous avons par intégration :

(29.34)

ce qui est bien l'équation d'une droite. Autrement écrite :

(29.35)

THÉORÈME DU CALCUL VARIATIONNEL

Le théorème du calcul variationnel consiste à montrer qu'en considérant f une fonction continue

sur à valeurs réelles et H l'ensemble des fonctions continues sur indéfiniment

dérivables sur et qui s'annulent en a et b alors pour toute fonction :

(29.36)

f est nulle sur .

Pourquoi s'intéresser à ce théorème? Parce que nous le rencontrerons très souvent lors de

l'application du principe variationnel ayant une configuration de ce type. Effectivement,

rappelons que le principe variationnel amène à avoir :

(29.37)

et l'expression intégrée est rarement une fonction simple comme le lecteur s'en apercevra au

cours de sa lecture des différentes chapitres du site. Il est donc important de connaître une

propriété qui simplifie parfois l'analyse du problème.

Remarque: Certains penseront que le cas

avec avec et contredit l'énoncé du théorème! Au fait ce n'est

pas vraiment ça... le théorème se doit d'être valable pour et non juste pour l'exemple

cité. D'où le fait que f devra bien être nul comme nous allons le démontrer.

Démonstration:

Pour simplifier nous prendrons le cas , . A quelques détails techniques près la

preuve par l'absurde ci-dessous peut être adaptée au cas a, b quelconques.

Supposons que f ne soit pas nulle sur . Alors il existe tel que .

Nous pouvons supposer (même raisonnement si ).

Par l'hypothèse initiale de continuité et de non nullité de f il existe alors un petit intervalle

autour de sur lequel f est strictement positive. C'est-à-dire, qu'il existe tel

que et .

Considérons à présent la fonction définie par

(29.38)

Nous vérifions assez facilement que est continue (positive) sur et indéfiniment

dérivable sur (cf. chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Différentiel Et Intégral).

De plus, . Et donc, . Voici une représentation graphique de :

(29.39)

A partir de nous voulons obtenir une fonction continue sur , indéfiniment dérivable

sur positive sur et nulle en dehors de afin de montrer

l'absurde de l'hypothèse de non nullité de f pour que le théorème soit vérifié (rappelons que

nous sommes en train de faire un démonstration par l'absurde!) .

Pour ceci, il suffit de centrer en et de la contracter.

La fonction définie par :

(29.40)

répond aux critères exigés. De plus, et donc, .

Ainsi, la fonction sera continue sur positive sur et nulle ailleurs.

Nous avons :

(29.41)

Or, si une fonction est continue et positive et :

(29.42)

cela entraîne forcément (nous supposerons cela comme trop intuitif pour avoir besoin d'être

démontré) sur .

Par conséquent sur or selon notre hypothèse

absurde initiale, ce qui est contradictoire.

L'hypothèse de départ est donc bien fausse et f doit être nulle sur

C.Q.F.D.

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