Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 1° partie, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la théorie des champs, les relations.
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La façon dont la théorie des champs fut introduite à partir des particules élémentaires par Dirac

est connue pour des raisons historiques sous l'appellation de "deuxième quantification".

Il est peut-être utile de mettre en évidence une possible source de confusion : les champs ne

sont pas liés à la dualité onde-corpuscule. Ce que nous entendons par "champ" est un concept

qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout point de l'espace comme nous le

verrons dans les développements mathématiques.

Rappelons que nous avons défini en physique quantique ondulatoire lors de l'étude de

l'équation d'évolution de Schrödinger l'opérateur d'Heisenberg, nécessaire à la condition de

normalisation de De Broglie :

(45.31)

En dérivant cet opérateur par rapport au temps, nous avons trivialement :

(45.32)

où rappelons-le, le commutateur de deux opérateurs est donné (comme nous l'avons déjà vu

lors de notre étude des opérateurs adjoints et hermitiques en physique quantique ondulatoire)

par définition par :

(45.33)

C'est l'hamiltonien H qui fait interruption en premier dans la relation précédente. Mais nous

pouvons tout aussi bien lui substituer un hamiltonien dépendant du temps H(t) tel que:

(45.34)

Maintenant, nous pouvons substituer par des observables connus tels que:

(45.35)

dites "équations du mouvement de Heisenberg". Ce qui est intéressant dans les deux relations

obtenues précédemment, c'est la façon avec laquelle se réalise la jonction entre la physique

quantique et la mécanique classique. Effectivement, nous avions démontré au chapitre de

Mécanique Analytique que les relations ci-dessous sont et seront toujours valables quelque soit

le domaine étudié :

(45.36)

ainsi que :

(45.37)

et:

(45.38)

La généralisation à plusieurs degrés de liberté est immédiate et nous donne l'ensemble les

relations (nous allégeons les écritures en omettant l'écriture de la dépendance à la variable

temporelle):

(45.39)

Nous avons encore besoin de deux autres relations importantes que nous allons de suite

déterminer. D'abord, d'après les définitions des commutateurs, il est inutile de démontrer que

(trivial) :

(45.40)

Par contre, il est un peu plus subtil de démontrer la valeur de (nous plaisantons...).

Rappelons que nous avions démontré lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels

que (nous nous restreignons au cas de la coordonnée x ici):

(45.41)

et que q représente une coordonnée généralisée (x par exemple...). Nous avons donc (résultat

déjà démontré dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire...):

(45.42)

Les deux dernières relations peuvent être généralisées à toutes les composantes voulues telles

que:

(45.43)

avec rappelons-le (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

(45.44)

qui est le symbole de Kronecker.

Pour en arriver enfin à la théorie quantique des champs, il nous faut encore généraliser à une

infinité continue de degrés de liberté. En effet, même le plus simple des champs est caractérisé,

à un instant t, par une infinité continue de quantités :

(45.45)

pout tout . Nous pourrions donc imaginer représenter la fonction par ses

valeurs en un ensemble discret de points que nous rendrons en fin de compte

infiniment dense (prenez garde au fait que nous utilisions la notion de densité !). Nous pouvons

aussi travailler, pour commencer, non pas dans tout l'espace, mais dans un volume fini que

nous finirons par rendre très grand. En procédant ainsi, nous pouvons trouver comment

généraliser le formalisme canonique et le processus de quantification. Au niveau formel,

nonobstant de subtiles questions de convergences (voir les parties mathématiques du site), la

généralisation aux systèmes continus consiste principalement à remplacer les sommes sur des

indices n par des intégrales sur des arguments , et les deltas de Kronecker par des deltas de

Dirac (sur l'espace-temps) :

(45.46)

En considérant alors le principe variationnel comme nous l'avons étudié en mécanique

analytique:

(45.47)

et le principe de moindre action nous imposant :

(45.48)

où le lagrangien sera maintenant une fonction du champ et de dérivée par rapport au

champ (puisqu'il n'y a pas de notion de quantité de mouvement pour un champ !).

Si nous divisons la relation précédente par nous obtenons :

(45.49)

ce qui nous donne le droit d'écrire:

(45.50)

et en imposant une analogie avec un concept de champ :

(45.51)

où et .

Finalement, comme tous les termes suivants sont nuls, ils sont égaux (nous faisons intervenir

l'équation d'Euler-Lagrange démontrée en mécanique analytique) :

(45.52)

en analogie avec le champ nous obtenons:

(45.53)

Cette écriture étant peu commode, on prend pour habitude décrire les différentielles partielles

(en utilisant les unités naturelles de la physique) aux composantes sous

la forme ce qui nous donne finalement :

(45.54)

et qui nous amène aussi à écrire le principe de moindre action sous la forme suivante :

(45.55)

Avec l'action des champs notée plus traditionnellement :

(45.56)

ou encore pour différencier lagrangien et densité lagrangienne (nous "stylisons" parfois de le L):

(45.57)

à comparer à l'action de la particule :

(45.58)

En analogie avec nous écrirons:

(45.59)

et en analogie avec nous écrirons :

(45.60)

mais un champ est un milieu continu. La somme sigma n'est donc plus adaptée et il faut passer

à une intégration sur tout l'espace-temps telle que:

(45.61)

En analogie avec les équations du mouvement de Heisenberg, nous écrivons:

(45.62)

Passons maintenant à la théorie quantique en postulant des champs d'opérateurs de

Heisenberg correspondants. Rappelons que nous avions obtenu plus haut que:

et (45.63)

ce qui nous donne:

et (45.64)

Si nous résumons un peu le tout et que nous affichons la comparaison avec la physique

quantique ondulatoire, nous avons finalement :

1. En physique quantique ondulatoire (c'est joli à regarder non?) :

(45.65)

2. Et l'équivalent en physique quantique des champs (alors là... ça devient de l'art!) :

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