Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'Euler-Lagrange des champs - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation d'Euler-Lagrange, l'équation du champ, lagrangien (densité lagrangienne) total du cham...
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(45.66)

Et le tour est joué! Nous venons de passer les paramètres de la physique quantique où les corps

ponctuels sont décrits par des fonctions d'onde, à une physique quantique ou les corps

ponctuels deviennent des champs continus.

Il ne reste plus qu'à appliquer ce schéma général à des exemples concrets :

Nous allons commencer par un premier exemple en tenant compte de l'aspect relativiste. Ainsi,

la densité lagrangienne non triviale que nous puissions construire est de la forme (vous allez de

suite voir à quoi elle va mener, ce qui confirmera sa validité - par ailleurs, le développement qui

va suivre aurait très bien pu être présenté dans l'autre sens) :

(45.67)

que les physiciens appellent "champ scalaire pour une particule libre et sans spin" ou

"lagrangien de Klein-Gordon" pour une particule sans spin où nous utilisons les notations

condensées habituelles :

(45.68)

et les unités naturelles :

(45.69)

calculons l'équation d'Euler-Lagrange y relative (trivial):

(45.70)

d'où l'équation du mouvement :

(45.71)

Rappelons qu'en physique quantique ondulatoire nous avions obtenu pour l'équation de Klein-

Gordon libre :

(45.72)

En adoptant les unités naturelles, nous avons donc :

(45.73)

et en travaillant dans l'espace de Minkowski comme cela se fait souvent en relativité tel que :

(45.74)

L'équation de Klein-Gordon libre s'écrit alors :

(45.75)

Nous avons donc finalement à comparer l'équation du mouvement du champ et l'équation de

Klein-Gordon libre :

et (45.76)

et c'est ici qu'on peut éventuellement ressentir un frisson dans le dos et rester admiratif face à

la puissance du formalisme mathématique ouvrant de nouvelles perspectives sur la manière de

voir les rouages de l'Univers....

Et encore... mieux...vous allez voir, nous allons le faire un peu à l'aveugle et... alors là !

Considérons maintenant le lagrangien suivant (que nous supposerons obtenu par bricolage

successifs... mais à nouveau nous aurions pu faire le développement dans l'autre sens) se

voulant exprimer "l'interaction d'un champ électromagnétique avec une densité courant" :

(45.77)

où nous y reconnaissons les tenseurs du champ électromagnétique démontrés et déterminés

dans le chapitre d'Électrodynamique et pour lesquels, rappelons-le :

(45.78)

Dans ce lagrangien, traitons le potentiel vecteur comme le champ tel que :

(45.79)

Dès lors en décomposant les développements, nous obtenons très facilement :

et et (45.80)

Dans un premier temps, le lecteur vérifier en faisant un peu de calcul tensoriel élémentaire que

:

(45.81)

Puis :

(45.82)

Dès lors, l'équation du champ s'écrit :

(45.83)

d'où :

(45.84)

Aïe que c'est beau mais que c'est beau!!! Nous retrouvons donc l'équation de Maxwell avec

sources avec le même lagrangien du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Ainsi, ce

lagrangien sans masse est assimilé au lagrangien du champ vectoriel de spin 1 assimilé aux

bosons.

Rappelons maintenant que nous avions obtenu dans le chapitre d'Électrodynamique l'action

suivante pour une particule chargée dans un champ électromagnétique (avant un long

développement qui nous avait amené au tenseur du champ électromagnétique) :

(45.85)

et en se rappelant que (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

(45.86)

il vient :

(45.87)

Donc la densité lagrangienne correspondante est donc :

(45.88)

Nous avons donc finalement :

1. Le lagrangien (densité lagrangienne) d'une particule chargée dans un champ

électromagnétique (que nous venons d'obtenir) :

(45.89)

2. Le lagrangien (densité lagrangienne) de tout à l'heure (qui nous a permis de retomber sur les

équations de Maxwell sans source) :

(45.90)

Remarque: Attention, par construction, ce n'est pas un problème de retomber seulement sur les

équations de Maxwell sans sources avec ce lagrangien car implicitement, le tenseur sous-

tend toutes les équations de Maxwell comme nous l'avons vu en électrodynamique et sa présence

dans le lagrangien suffit donc à ce que toutes les propriétés du champ électromagnétique soient

pris en compte.

Dès lors, il est naturel d'écrire le "lagrangien (densité lagrangienne) total du champ

électromagnétique" :

(45.91)

Continuons maintenant notre bonhomme de chemin avec l'équation de Dirac libre! Rappelons

que nous avions obtenu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste l'équation de Dirac

libre sous la forme (fondamentalement rappelons qu'il s'agit d'une équation relativiste) :

(45.92)

Maintenant rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que . Dès lors, il vient :

(45.93)

Or, et il est super facile de vérifier (ne pas oublier que nous utilisons la forme

représentative de Dirac des matrices de Pauli !!!) ce qui nous amène à écrire :

(45.94)

Il est alors commode d'introduire "l'adjoint de Dirac" :

(45.95)

Remarque: Rappelons que est une matrice colonne et une matrice ligne. Il vient donc

que est aussi une matrice ligne!

Utilisant le fait que dans la représentation de Dirac nous pouvons écrire :

(45.96)

en simplifiant les il vient l'équation de Dirac libre adjointe :

(45.97)

Ce que nous notons traditionnellement:

(45.98)

La notation signifiant que l'opérateur opère sur vers la gauche tel que :

(45.99)

Remarque: Certains auteurs écrivent mais ceci est faux car est une matrice

ligne comme nous l'avons fait remarquer plus haut!!!

Finalement nous avons pour les équations de Dirac libres:

(45.100)

Supposons maintenant que le "lagrangien du champ spinoriel de Dirac libre" soit de la forme

(parce que finalement c'est le lagrangien qui nous intéresse) :

(45.101)

où nous avons posé . Il s'agit donc du lagrangien du champ spinoriel pour les

particules de spin 1/2 qui sont donc des fermions libres.

En considérant les quantités comme indépendantes (c'est ce qu'elles sont de toute façon

puisque orthogonales) et choisissant le champ spinoriel comme , nous avons :

(45.102)

Le deuxième terme est nul puisque le lagrangien de Dirac ne contient pas de termes en .

De fait il reste :

(45.103)

Nous retombons donc bien sur l'équation de Dirac libre (le même développement pouvant être

fait pour l'équation de Dirac libre adjointe)! Ainsi, dans ce cadre, la seule manière d'expliquer

les propriétés quantiques de la matière comportant des particules avec spin est de faire

intervenir des champs représentant des particules chargées électriquement, les électrons

et positrons comme nous le savons. Nous appelons alors ces entités des "champs (spinoriels)

de Dirac".

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