Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 1° partie, Notes de Physique

Télécharge Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 1° partie et plus Notes au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! ÉQUATION D'ÉVOLUTION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique d'un système évolue, en général, dans le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de mouvement (par exemple) sont fonctions du temps. Pour un système d'Hamiltonien donné, la connaissance de l'état dynamique initial permet de prévoir exactement l'évolution ultérieure de ce système du fait des propriétés bien connues des équations de Hamilton. En physique quantique, les états dynamiques évolueront, en général, dans le temps. La fonction d'onde décrivant un état dynamique ne sera alors pas seulement fonction des coordonnées des particules constituant le système, mais elle dépendra donc aussi du temps et s'écrira: (42.188) Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie avec la mécanique classique, que pour un système donné, d'Hamiltonien connu, la connaissance de l'état dynamique initial à l'instant , permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un instant ultérieur . Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble initialement "pur" reste un ensemble pur au cours de l'évolution ultérieure des systèmes qui le constituent sans action extérieure. Cela cesserait donc d'être vrai si tous les systèmes de l'ensemble n'avaient pas exactement le même Hamiltonien. Indiquons qu'il existe deux approches possibles pour déterminer les fonctions dépendantes du temps: - La première, courante dans de nombreux domaines d'application de la physique quantique, consiste à utiliser un "opérateur d'évolution" et permet de faire apparaître de manière explicite l'équation d'évolution de Schrödinger. Nous commencerons par celle-ci même si c'est la plus compliquée. - La deuxième, très utilisée à des fins pédagogiques, permet d'obtenir les fonctions dépendantes du temps par l'intermédiaire de la techique de séparation des variables des équations différentielles mais nécessite d'admettre l'équation d'évolution de Schrödinger comme un postulat. OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION Soit la fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique du système à l'instant t (nous n'écrivons pas les autres variables dont dépend par souci de simplification, à savoir les coordonnées spatiales des particules du système). D'après ce qui précède, si est connue, l'est aussi. Nous avons une correspondance: (42.189) et nous admettrons qu'elle est linéaire! Il existe donc un opérateur , appelé "opérateur d'évolution", tel que: (42.190) La fonction dépend linéairement de . Il en est alors de même de: (42.191) Il existe donc un opérateur linéaire K, tel que: (42.192) le nombre complexe i venant simplement du fait que nous devinons intuitivement que le résultat sera une fonction d'onde complexe. Ce qui a aussi amené les physiciens à poser cette dernière égalité ainsi étaient les résultats connus de l'équation d'onde décrivant un état dynamique d'après l'idée de De Broglie. Nous allons donc tout de suite montrer que poser l'égalité ainsi est justifiée. Nous devons déterminer K puisque la connaissance de l'Hamiltonien Hcommande l'évolution du système, K doit donc dépendre de H. Pour préciser la loi qui lie K à H, nous examinerons un cas particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude détaillée plus loin). Dans ce cas, H s'identifie à l'énergie cinétique uniquement. D'après les idées de De Broglie, il est naturel d'admettre que la fonction d'onde décrivant un état dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien déterminée, soit (relation démontrée pendant l'étude de la particule libre), et où l'énergie totale est donc également bien déterminée, soit: (42.193) est une onde plane de la forme classique: (42.209) Démontrons maintenant que nous pouvons écrire: (42.21 0) Cela revient à démontrer que H peut agir identiquement "en arrière" tel que : (42.211) H pouvant être (ou contenir si vous préférez) un opérateur (différentiel par exemple). Cette relation est démontrable si et seulement si est une fonction décroissante vers l'infini. Démontrons cela sur un cas particulier (mais fréquent en physique) et pour voir comment cela peut se faire, considérons dans H, un terme de la forme (ce qui est le cas comme nous l'avons vu plus haut): (42.212) ce qui nous amène à écrire: (42.213) Par intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sur le terme de gauche de l'égalité nous avons: (42.214) Donc cela ne fait aucune différence de considérer que l'opérateur différencie tout ce qui est à droite ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien entendu que ce dernier cas implique un changement de signe. Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire : (42.215) ce qui nous amène également à écrire : (42.216) Ceci ne peut être satisfait uniquement si et dans le domaine mathématique traitant des opérateurs nous avons vu que nous devions noter cette égalité : (42.217) Ce qui nous amène à: (42.218) soit en utilisant la notation des représentatives (ket-bra): (42.219) Pour revenir à la résolution de: (42.220) il est évident qu'une solution possible est alors: (42.221) qui est donc constituée d'une partie purement spatiale (indépendante du temps) et une exponentielle complexe dépendante du temps. Vérifions : (42.222) C'est ce qu'il fallait démontrer (...). Remarquons également qu'une fois les solutions purement spatiales déterminées, les solutions dépendantes du temps et de l'espace s'obtiennent aisément. De même, grâce à la relation que nous avons démontrée avant, nous pouvons écrire : (42.223) Finalement, la relation : (42.224) devient: (42.225) avec "l'opérateur d'Heisenberg" défini par : (42.226) Remarque: Il se peut très bien que X soit parfois une simple constante (nous en verrons un exemple plus bas). SÉPARATION DES VARIABLES Voyons également une manipulation mathématique intéressante et un peu similaire à la précédente de l'équation d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre de voir que la séparation des variables fonctionne très bien avec l'équation d'évolution et qu'elle va nous permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment (c'est toujours bien pédagogiquement de voir plusieurs approches). Nous avons donc dans un cas particulier : (42.227) Récrite sous forme traditionnelle (selon la littérature) et à une dimension, pour un potentiel constant dans le temps, cette relation s'écrit alors : (42.228) Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer en deux fonctions dont elle est le produit telle que :