Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur l'équation d'évolution classique de Schrödinger - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: deux approches possibles, l'opérateur d'évolution, l'équation d'évolution classique de S...
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ÉQUATION D'ÉVOLUTION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique d'un système évolue, en général, dans

le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de mouvement (par exemple) sont

fonctions du temps. Pour un système d'Hamiltonien donné, la connaissance de l'état dynamique

initial permet de prévoir exactement l'évolution ultérieure de ce système du fait des propriétés

bien connues des équations de Hamilton.

En physique quantique, les états dynamiques évolueront, en général, dans le temps. La fonction

d'onde décrivant un état dynamique ne sera alors pas seulement fonction des coordonnées des

particules constituant le système, mais elle dépendra donc aussi du temps et s'écrira:

(42.188)

Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie avec la mécanique classique, que

pour un système donné, d'Hamiltonien connu, la connaissance de l'état dynamique initial à

l'instant , permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un instant

ultérieur .

Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble initialement "pur" reste un ensemble

pur au cours de l'évolution ultérieure des systèmes qui le constituent sans action extérieure.

Cela cesserait donc d'être vrai si tous les systèmes de l'ensemble n'avaient pas exactement le

même Hamiltonien.

Indiquons qu'il existe deux approches possibles pour déterminer les fonctions dépendantes du

temps:

- La première, courante dans de nombreux domaines d'application de la physique quantique,

consiste à utiliser un "opérateur d'évolution" et permet de faire apparaître de manière explicite

l'équation d'évolution de Schrödinger. Nous commencerons par celle-ci même si c'est la plus

compliquée.

- La deuxième, très utilisée à des fins pédagogiques, permet d'obtenir les fonctions

dépendantes du temps par l'intermédiaire de la techique de séparation des variables des

équations différentielles mais nécessite d'admettre l'équation d'évolution de Schrödinger

comme un postulat.

OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION

Soit la fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique du système à l'instant t (nous

n'écrivons pas les autres variables dont dépend par souci de simplification, à savoir les

coordonnées spatiales des particules du système). D'après ce qui précède, si est

connue, l'est aussi. Nous avons une correspondance:

(42.189)

et nous admettrons qu'elle est linéaire! Il existe donc un opérateur , appelé "opérateur

d'évolution", tel que:

(42.190)

La fonction dépend linéairement de . Il en est alors de même de:

(42.191)

Il existe donc un opérateur linéaire K, tel que:

(42.192)

le nombre complexe i venant simplement du fait que nous devinons intuitivement que le

résultat sera une fonction d'onde complexe.

Ce qui a aussi amené les physiciens à poser cette dernière égalité ainsi étaient les résultats

connus de l'équation d'onde décrivant un état dynamique d'après l'idée de De Broglie. Nous

allons donc tout de suite montrer que poser l'égalité ainsi est justifiée.

Nous devons déterminer K puisque la connaissance de l'Hamiltonien Hcommande l'évolution du

système, K doit donc dépendre de H. Pour préciser la loi qui lie K à H, nous examinerons un cas

particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude détaillée plus loin). Dans ce

cas, H s'identifie à l'énergie cinétique uniquement.

D'après les idées de De Broglie, il est naturel d'admettre que la fonction d'onde décrivant un

état dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien déterminée, soit (relation

démontrée pendant l'étude de la particule libre), et où l'énergie totale est donc également bien

déterminée, soit:

(42.193)

est une onde plane de la forme classique:

(42.194)

où k est le vecteur d'onde de l'onde et ses coordonnées spatiales.

Nous voyons très bien à l'arbitraire de phase près (pris comme étant négatif) que:

(42.195)

Mais nous avons la relation entre opérateur et valeur propre suivante:

(42.196)

Les deux équations précédentes conduisent à écrire:

(42.197)

En comparant cette dernière relation avec:

(42.198)

nous sommes amenés à poser:

(42.199)

Les physiciens supposent que cette relation entre K et H est générale. Alors, l'équation:

(42.200)

dans laquelle K est remplacé par son expression:

(42.201)

devient alors:

(42.202)

Cette équation constitue "l'équation d'évolution classique de Schrödinger".

En particulier, pour une particule sans spin soumise à une énergie potentielle , en

maintenant toujours que la relation entre K et H est générale, l'équation d'évolution s'écrit

alors:

(42.203)

où les termes entre paranthèses correspondent donc à l'expression de l'hamiltonien. Il convient

maintenant de résoudre l'équation différentielle d'évolution de Schrödinger. Pour cela, nous

avons nous servir de la condition de normalisation de De Broglie.

Rappelons que cette condition s'écrit:

(42.204)

et généralisons à une étude multidimensionnelle et temporelle de cette condition telle que

(selon les propriétés des complexes) :

(42.205)

Cette intégrale n'est certainement pas égale à l'unité si nous n'introduisons pas une fonction de

normalisation assimilé à un observable que nous noterons X et telle que nous ayons bien:

(42.206)

D'après cette condition, cette intégrale doit nécessairement rester constante en fonction du

temps et de fait égale à l'unité.

Calculons la dérivée par rapport au temps de l'intégrale de normalisation et X. Nous avons donc

nécessairement:

(42.207)

et utilisons l'équation d'évolution de Schrödinger:

(42.208)

ce qui nous donne pour notre intégrale après substitution:

(42.209)

Démontrons maintenant que nous pouvons écrire:

(42.21

0)

Cela revient à démontrer que H peut agir identiquement "en arrière" tel que :

(42.211)

H pouvant être (ou contenir si vous préférez) un opérateur (différentiel par exemple).

Cette relation est démontrable si et seulement si est une fonction décroissante vers l'infini.

Démontrons cela sur un cas particulier (mais fréquent en physique) et pour voir comment cela

peut se faire, considérons dans H, un terme de la forme (ce qui est le cas comme nous l'avons

vu plus haut):

(42.212)

ce qui nous amène à écrire:

(42.213)

Par intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sur le terme de gauche

de l'égalité nous avons:

(42.214)

Donc cela ne fait aucune différence de considérer que l'opérateur différencie tout ce qui est à

droite ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien entendu que ce dernier cas

implique un changement de signe.

Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire :

(42.215)

ce qui nous amène également à écrire :

(42.216)

Ceci ne peut être satisfait uniquement si et dans le domaine mathématique traitant des

opérateurs nous avons vu que nous devions noter cette égalité :

(42.217)

Ce qui nous amène à:

(42.218)

soit en utilisant la notation des représentatives (ket-bra):

(42.219)

Pour revenir à la résolution de:

(42.220)

il est évident qu'une solution possible est alors:

(42.221)

qui est donc constituée d'une partie purement spatiale (indépendante du temps) et une

exponentielle complexe dépendante du temps. Vérifions :

(42.222)

C'est ce qu'il fallait démontrer (...).

Remarquons également qu'une fois les solutions purement spatiales déterminées, les solutions

dépendantes du temps et de l'espace s'obtiennent aisément.

De même, grâce à la relation que nous avons démontrée avant, nous pouvons écrire :

(42.223)

Finalement, la relation :

(42.224)

devient:

(42.225)

avec "l'opérateur d'Heisenberg" défini par :

(42.226)

Remarque: Il se peut très bien que X soit parfois une simple constante (nous en verrons un

exemple plus bas).

SÉPARATION DES VARIABLES

Voyons également une manipulation mathématique intéressante et un peu similaire à la

précédente de l'équation d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre de

voir que la séparation des variables fonctionne très bien avec l'équation d'évolution et qu'elle va

nous permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment (c'est toujours bien

pédagogiquement de voir plusieurs approches).

Nous avons donc dans un cas particulier :

(42.227)

Récrite sous forme traditionnelle (selon la littérature) et à une dimension, pour un potentiel

constant dans le temps, cette relation s'écrit alors :

(42.228)

Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer en deux fonctions dont elle est

le produit telle que :

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